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18解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率为 12\frac{1}{2}，椭圆被直线 x=bx=b 截得的线段长为 3\sqrt{3}.
(1) 求 CC 的标准方程； (2) 斜率为 −3-\sqrt{3} 的直线与圆 x2+y2=b2x^2+y^2=b^2 相切，且该直线交椭圆于 P(x1,y1)P(x_1,y_1)，Q(x2,y2)Q(x_2,y_2)（y1<y2y_1<y_2），AA 是椭圆的上顶点. 记直线 APAP，AQAQ 的斜率分别为 k1k_1，k2k_2，求 k1k2\frac{k_1}{k_2}.

2026 · 天津 · 第 18 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★★☆
正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的棱长为 4，EE，FF 分别为 A1D1A_1D_1，C1B1C_1B_1 中点，且 CG=3GC1CG=3GC_1.
(1) 求证：GF⊥GF\perp 平面 FBEFBE； (2) 求平面 FBEFBE 与平面 EBGEBG 的夹角余弦； (3) 求四面体 D−FBED-FBE 的体积.

2025 · 天津 · 第 17 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的左焦点为 FF，右顶点为 AA，PP 为 x=ax=a 上一点，且直线 PFPF 的斜率为 13\frac13，△PFA\triangle PFA 的面积为 32\frac32，离心率为 12\frac12.
(1) 求椭圆方程； (2) 过 PP 的直线与椭圆有唯一交点 BB（异于 AA），证明 PFPF 平分 ∠AFB\angle AFB.

2025 · 天津 · 第 18 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\} 为等差数列，{bn}\{b_n\} 为等比数列，a1=b1=2a_1=b_1=2，a2=b2+1a_2=b_2+1，a3=b3a_3=b_3.
(1) 求 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 的通项； (2) ∀n∈N∗\forall n\in\mathbf{N}^*，I={0,1}I=\{0,1\}，定义 Tn={p1a1b1+p2a2b2+⋯+pnanbn∣pi∈I,i=1,…,n}T_n=\{p_1a_1b_1+p_2a_2b_2+\cdots+p_na_nb_n\mid p_i\in I,i=1,\dots,n\}.
(i) 求证：对任意 t∈Tnt\in T_n，有 t<an+1bn+1t<a_{n+1}b_{n+1}； (ii) 求 TnT_n 的所有元素之和.

2025 · 天津 · 第 19 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率 e=12e=\frac12. 左顶点为 AA，下顶点为 BB，CC 是线段 OBOB 的中点，其中 S△ABC=332S_{\triangle ABC}=\frac{3\sqrt3}{2}.
(1) 求椭圆方程； (2) 过点 (0,−32)\left(0,-\frac32\right) 的动直线与椭圆有两个交点 PP，QQ. 在 yy 轴上是否存在点 TT 使得 TP→⋅TQ→≤0\overrightarrow{TP}\cdot \overrightarrow{TQ}\le 0？若存在，求出这个 TT 点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由.

2024 · 天津 · 第 18 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
设椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0） 的左，右顶点分别为 A1A_1，A2A_2，右焦点为 FF，已知 ∣A1F∣=3|A_1F|=3，∣A2F∣=1|A_2F|=1.
(1) 求椭圆方程及其离心率； (2) 已知点 PP 是椭圆上一动点（不与端点重合），直线 A2PA_2P 交 yy 轴于点 QQ，若三角形 A1PQA_1PQ 的面积是三角形 A2FPA_2FP 面积的二倍，求直线 A2PA_2P 的方程.

2023 · 天津 · 第 18 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
已知 {an}\{a_n\} 是等差数列，a2+a5=16a_2+a_5=16，a5−a3=4a_5-a_3=4.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式和 ∑i=2n−12n−1ai\displaystyle\sum_{i=2^{n-1}}^{2^n-1}a_i； (2) 已知 {bn}\{b_n\} 为等比数列，对于任意 k∈N∗k\in \mathbf{N}^*，若 2k−1≤n≤2k−12^{k-1}\le n\le 2^k-1，则 bk<an<bk+1b_k<a_n<b_{k+1}.
(i) 当 k≥2k\ge 2 时，求证：2k−1<bk<2k+12^k-1<b_k<2^k+1； (ii) 求 {bn}\{b_n\} 的通项公式及其前 nn 项和.

2023 · 天津 · 第 19 题 · 解答题

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18数列★★★★☆
设 {an}\{a_n\} 为等差数列，{bn}\{b_n\} 为等比数列，且 a1=b1=a2−b2=a3−b3=1a_1=b_1=a_2-b_2=a_3-b_3=1.
(1) 求 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 记 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，求证：(Sn+1+an+1)bn=Sn+1bn+1−Snbn\left(S_{n+1}+a_{n+1}\right)b_n=S_{n+1}b_{n+1}-S_nb_n； (3) 求 ∑k=12n[ak+1−(−1)kak]bk\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}\left[a_{k+1}-(-1)^ka_k\right]b_k.

2022 · 天津 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
椭圆 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的右焦点为 FF，右顶点为 AA，上顶点为 BB，且满足 ∣BF∣∣AB∣=32\dfrac{|BF|}{|AB|}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
(1) 求椭圆的离心率 ee； (2) 直线 ll 与椭圆有唯一公共点 MM，与 yy 轴相交于 NN（NN 异于 MM）. 记 OO 为坐标原点，若 ∣OM∣=∣ON∣|OM|=|ON|，且 △OMN\triangle OMN 的面积为 3\sqrt{3}，求椭圆的标准方程.

2022 · 天津 · 第 19 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0） 的右焦点为 FF，上顶点为 BB，离心率为 255\dfrac{2\sqrt5}{5}，且 ∣BF∣=5|BF|=\sqrt5.
(1) 求椭圆的方程； (2) 直线 ll 与椭圆有唯一的公共点 MM，与 yy 轴的正半轴交于点 NN，过 NN 与 BFBF 垂直的直线交 xx 轴于点 PP. 若 MP∥BFMP\parallel BF，求直线 ll 的方程.

2021 · 天津 · 第 18 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的一个顶点为 A(0,−3)A(0,-3)，右焦点为 FF，且 ∣OA∣=∣OF∣|OA|=|OF|，其中 OO 为原点.
(1) 求椭圆方程； (2) 已知点 CC 满足 3OC→=OF→3\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OF}，点 BB 在椭圆上（BB 异于椭圆的顶点），直线 ABAB 与以 CC 为圆心的圆相切于点 PP，且 PP 为线段 ABAB 的中点. 求直线 ABAB 的方程.

2020 · 天津 · 第 18 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
已知 {an}\{a_n\} 为等差数列，{bn}\{b_n\} 为等比数列，a1=b1=1a_1=b_1=1，a5=5(a4−a3)a_5=5\left( a_4-a_3 \right)，b5=4(b4−b3)b_5=4\left( b_4-b_3 \right).
(1) 求 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 记 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，求证：SnSn+2<Sn+12S_nS_{n+2}<S_{n+1}^2（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）； (3) 对任意的正整数 nn，设 cn=(3an−2)bnanan+2c_n=\dfrac{(3a_n-2)b_n}{a_na_{n+2}}（nn 为奇数），cn=an−1bn+1c_n=\dfrac{a_{n-1}}{b_{n+1}}（nn 为偶数），求数列 {cn}\{c_n\} 的前 2n2n 项和.

2020 · 天津 · 第 19 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★★☆
如图，AE⊥AE\perp平面 ABCDABCD，CF∥AECF\parallel AE，AD∥BCAD\parallel BC，AD⊥ABAD\perp AB，AB=AD=1AB=AD=1，AE=BC=2AE=BC=2.
(1) 求证：BF∥BF\parallel平面 ADEADE； (2) 求直线 CECE 与平面 BDEBDE 所成角的正弦值； (3) 若二面角 E−BD−FE-BD-F 的余弦值为 13\dfrac{1}{3}，求线段 CFCF 的长.

2019 · 天津 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
设椭圆 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的左焦点为 FF，上顶点为 BB. 已知椭圆的短轴长为 44，离心率为 55\dfrac{\sqrt5}{5}.
(1) 求椭圆的方程； (2) 设点 PP 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 MM 为直线 PBPB 与 xx 轴的交点，点 NN 在 yy 轴的负半轴上. 若 ∣ON∣=∣OF∣|ON|=|OF|（OO 为原点），且 OP⊥MNOP\perp MN，求直线 PBPB 的斜率.

2019 · 天津 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19数列★★★★☆
设 {an}\{a_n\} 是等差数列，{bn}\{b_n\} 是等比数列. 已知 a1=4a_1=4，b1=6b_1=6，b2=2a2−2b_2=2a_2-2，b3=2a3+4b_3=2a_3+4.
(1) 求 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 设数列 {cn}\{c_n\} 满足 c1=1c_1=1，
cn={1,2k<n<2k+1,bk,n=2k,c_n=\begin{cases} 1, & 2^k<n<2^{k+1},\\ b_k, & n=2^k, \end{cases}
其中 k∈N∗k\in \mathbf{N}^*.
(i) 求数列 {a2n(c2n−1)}\{a_{2^n}(c_{2^n}-1)\} 的通项公式； (ii) 求 ∑i=12naici\sum_{i=1}^{2^n} a_ic_i（n∈N∗n\in \mathbf{N}^*）.

2019 · 天津 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
设椭圆 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0） 的左焦点为 FF，左顶点为 AA，上顶点为 BB. 已知 3∣OA∣=2∣OB∣\sqrt3|OA|=2|OB|（OO 为原点）.
(1) 求椭圆的离心率； (2) 设经过点 FF 且斜率为 34\dfrac34 的直线 ll 与椭圆在 xx 轴上方的交点为 PP，圆 CC 同时与 xx 轴和直线 ll 相切，圆心 CC 在直线 x=4x=4 上，且 OC//APOC//AP，求椭圆的方程.

2019 · 天津 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★★☆
如图，AD∥BCAD\parallel BC 且 AD=2BCAD=2BC，AD⊥CDAD\perp CD，EG∥ADEG\parallel AD 且 EG=ADEG=AD，CD∥FGCD\parallel FG 且 CD=2FGCD=2FG，DG⊥DG\perp 平面 ABCDABCD，DA=DC=DG=2DA=DC=DG=2.
(1) 若 MM 为 CFCF 的中点，NN 为 EGEG 的中点，求证：MN∥MN\parallel 平面 CDECDE； (2) 求二面角 E−BC−FE-BC-F 的正弦值； (3) 若点 PP 在线段 DGDG 上，且直线 BPBP 与平面 ADGEADGE 所成的角为 60∘60^\circ，求线段 DPDP 的长.

2018 · 天津 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18数列★★★★☆
设 {an}\{a_n\} 是等比数列，公比大于 00，其前 nn 项和为 SnS_n （n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），{bn}\{b_n\} 是等差数列. 已知 a1=1a_1=1，a3=a2+2a_3=a_2+2，a4=b3+b5a_4=b_3+b_5，a5=b4+2b6a_5=b_4+2b_6.
(1) 求 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 设数列 {Sn}\{S_n\} 的前 nn 项和为 TnT_n （n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），
(i) 求 TnT_n； (ii) 证明 ∑k=1n(Tk+bk+2)bk(k+1)(k+2)=2n+2n+2−2\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{(T_k+b_k+2)b_k}{(k+1)(k+2)}=\frac{2^{n+2}}{n+2}-2 （n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）.

2018 · 天津 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
设椭圆 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 （a>b>0a>b>0） 的左焦点为 FF，上顶点为 BB. 已知椭圆的离心率为 53\dfrac{\sqrt5}{3}，点 AA 的坐标为 (b,0)(b,0)，且 FB⋅AB=62FB\cdot AB=6\sqrt2.
(1) 求椭圆的方程； (2) 设直线 l:y=kxl:y=kx （k>0k>0） 与椭圆在第一象限的交点为 PP，且 ll 与直线 ABAB 交于点 QQ.
若 AQPQ=524sin⁡∠AOQ\dfrac{AQ}{PQ}=\dfrac{5\sqrt2}{4}\sin\angle AOQ（OO 为原点），求 kk 的值.

2018 · 天津 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
设椭圆 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的右顶点为 AA，上顶点为 BB.已知椭圆的离心率为 53\dfrac{\sqrt5}{3}，∣AB∣=13|AB|=\sqrt{13}.
(1) 求椭圆的方程； (2) 设直线 l:y=kxl:y=kx（k<0k<0）与椭圆交于 PP，QQ 两点，ll 与直线 ABAB 交于点 MM，且点 PP，MM 均在第四象限.若 △BPM\triangle BPM 的面积是 △BPQ\triangle BPQ 面积的 22 倍，求 kk 的值.

2018 · 天津 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★★☆
如图，在三棱锥 P−ABCP-ABC 中，PA⊥PA\perp 底面 ABCABC，∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ. 点 DD，EE，NN 分别为棱 PAPA，PCPC，BCBC 的中点，MM 是线段 ADAD 的中点，PA=AC=4PA=AC=4，AB=2AB=2.
(1) 求证：MN∥MN\parallel 平面 BDEBDE； (2) 求二面角 C−EM−NC-EM-N 的正弦值； (3) 已知点 HH 在棱 PAPA 上，且直线 NHNH 与直线 BEBE 所成角的余弦值为 721\dfrac{\sqrt{7}}{21}，求线段 AHAH 的长.

2017 · 天津 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
设椭圆 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的左焦点为 FF，右顶点为 AA，离心率为 12\dfrac{1}{2}. 已知 AA 是抛物线 y2=2pxy^2=2px（p>0p>0）的焦点，FF 到抛物线的准线 ll 的距离为 12\dfrac{1}{2}.
(1) 求椭圆的方程和抛物线的方程； (2) 设 ll 上两点 PP，QQ 关于 xx 轴对称，直线 APAP 与椭圆相交于点 BB（BB 异于点 AA），直线 BQBQ 与 xx 轴相交于点 DD. 若 △APD\triangle APD 的面积为 62\dfrac{\sqrt{6}}{2}，求直线 APAP 的方程.

2017 · 天津 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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18数列★★★★☆
已知 {an}\{a_n\} 为等差数列，前 nn 项和为 SnS_n（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），{bn}\{b_n\} 是首项为 22 的等比数列，且公比大于 00，b2+b3=12b_2+b_3=12，b3=a4−2a1b_3=a_4-2a_1，S11=11b4S_{11}=11b_4.
(1) 求 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 求数列 {a2nbn}\{a_{2n}b_n\} 的前 nn 项和（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）.

2017 · 天津 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★☆
设 aa，b∈Rb\in\mathbf{R}，∣a∣≤1|a|\le 1. 已知函数 f(x)=x3−6x2−3a(a−4)x+bf(x)=x^3-6x^2-3a(a-4)x+b，g(x)=exf(x)g(x)=\mathrm{e}^x f(x).
(1) 求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 已知函数 y=g(x)y=g(x) 和 y=exy=\mathrm{e}^x 的图象在公共点 (x0,y0)(x_0,y_0) 处有相同的切线.
(i) 求证：f(x)f(x) 在 x=x0x=x_0 处的导数等于 00； (ii) 若关于 xx 的不等式 g(x)≤exg(x)\le \mathrm{e}^x 在区间 [x0−1,x0+1][x_0-1,x_0+1] 上恒成立，求 bb 的取值范围.

2017 · 天津 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★★☆
如图，正方形 ABCDABCD 的中心为 OO，四边形 OBEFOBEF 为矩形，平面 OBEF⊥OBEF\perp 平面 ABCDABCD，点 GG 为 ABAB 的中点，AB=BE=2AB=BE=2.
(1) 求证：EG∥EG\parallel 平面 ADFADF； (2) 求二面角 O−EF−CO-EF-C 的正弦值； (3) 设 HH 为线段 AFAF 上的点，且 AH=23HFAH=\dfrac23HF，求直线 BHBH 和平面 CEFCEF 所成角的正弦值.

2016 · 天津 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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