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08立体几何初步★★★★☆
“十字歇山顶”是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，图 1 中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶. 其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体（图 2）. 这两个直三棱柱有一个公共侧面 ABCDABCD，在底面 BCEBCE 中，若 BE=CE=3BE=CE=3，∠BEC=120∘\angle BEC=120^{\circ}，则该几何体的体积为（ ）
\bitmapinclude[max width=6.0cm]{img/2022/tianjin/q8_fig1.png}\bitmapinclude[max width=6.0cm]{img/2022/tianjin/q8_fig2.png}
A.
272\dfrac{27}{2}
B.
2732\dfrac{27\sqrt{3}}{2}
C.
27
D.
27327\sqrt{3}

2022 · 天津 · 第 8 题 · 选择题

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14平面向量★★★★☆
在 △ABC\triangle ABC 中，点 DD 为 ACAC 的中点，点 EE 满足 CB→=2BE→\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{BE}. 记 CA→=a\overrightarrow{CA}=\boldsymbol{a}，CB→=b\overrightarrow{CB}=\boldsymbol{b}，用 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 表示 DE→=\overrightarrow{DE}=______；若 AB→⊥DE→\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{DE}，则 ∠ACB\angle ACB 的最大值为______.

2022 · 天津 · 第 14 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★★☆
设 a∈Ra\in\mathbf{R}，对任意实数 xx，记 f(x)f(x) 表示 ∣x∣−2|x|-2，x2−ax+3a−5x^2-ax+3a-5 中的较小者. 若函数 f(x)f(x) 至少有 3 个零点，则 aa 的取值范围为______.

2022 · 天津 · 第 15 题 · 填空题

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18数列★★★★☆
设 {an}\{a_n\} 为等差数列，{bn}\{b_n\} 为等比数列，且 a1=b1=a2−b2=a3−b3=1a_1=b_1=a_2-b_2=a_3-b_3=1.
(1) 求 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 记 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，求证：(Sn+1+an+1)bn=Sn+1bn+1−Snbn\left(S_{n+1}+a_{n+1}\right)b_n=S_{n+1}b_{n+1}-S_nb_n； (3) 求 ∑k=12n[ak+1−(−1)kak]bk\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}\left[a_{k+1}-(-1)^ka_k\right]b_k.

2022 · 天津 · 第 18 题 · 解答题

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19解析几何★★★★☆
椭圆 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的右焦点为 FF，右顶点为 AA，上顶点为 BB，且满足 ∣BF∣∣AB∣=32\dfrac{|BF|}{|AB|}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
(1) 求椭圆的离心率 ee； (2) 直线 ll 与椭圆有唯一公共点 MM，与 yy 轴相交于 NN（NN 异于 MM）. 记 OO 为坐标原点，若 ∣OM∣=∣ON∣|OM|=|ON|，且 △OMN\triangle OMN 的面积为 3\sqrt{3}，求椭圆的标准方程.

2022 · 天津 · 第 19 题 · 解答题

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