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145分数列★★★★☆
设实数 qq 满足：存在数列 {an}\{a_n\}，使得对于任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，均有 a1+a2+⋯+a3n=n2+na_1+a_2+\cdots+a_{3n}=n^2+n，且 {an}\{a_n\} 中有某连续 99 项 aka_k，ak+1a_{k+1}，⋯\cdots，ak+8a_{k+8} 是公比为 qq 的等比数列，则 qq 的最大值为______．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 14 题 · 填空题

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145分概率与统计★★★★☆
甲，乙两人各有四张卡片，甲为 {1,3,5,7}\{1,3,5,7\}，乙为 {2,4,6,8}\{2,4,6,8\}. 每轮各出一张牌比较大小，先大者得 11 分，先小者得 00 分，弃置该轮牌. 四轮后甲总得分不少于 22 的概率是______.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 14 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★★☆
以图 \circled1\circled{1} 为正视图，在图 \circled2\circled{2}，\circled3\circled{3}，\circled4\circled{4}，\circled5\circled{5} 中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为______（写出符合要求的一组答案即可）.

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★★☆
以图①为正视图，在图②，③，④，⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为______（写出符合要求的一组答案即可）.

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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16三角函数★★★★☆
如图，在三棱锥 P−ABCP-ABC 的平面展开图中，AC=1AC=1，AB=AD=3AB=AD=\sqrt{3}，AB⊥ACAB\perp AC，AB⊥ADAB\perp AD，∠CAE=30∘\angle CAE=30^\circ，则 cos⁡∠FCB=‾\cos \angle FCB=\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} −14-\dfrac{1}{4} \end{answer}

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16数列★★★★☆
数列 {an}\{a_n\} 满足 an+2+(−1)nan=3n−1a_{n+2}+(-1)^n a_n=3n-1，前 1616 项和为 540540，则 a1=‾a_1=\underline{\hspace{2em}}.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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16解析几何★★★★☆
已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的左、右焦点分别为 F1F_1，F2F_2. 过 F1F_1 的直线与 CC 的两条渐近线分别交于 AA，BB 两点，若 F1A→=AB→\overrightarrow{F_1A}=\overrightarrow{AB}，F1B→⋅F2B→=0\overrightarrow{F_1B}\cdot\overrightarrow{F_2B}=0，则 CC 的离心率为______.
\begin{answer} 2 \end{answer}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★★☆
已知 ∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ，PP 为平面 ABCABC 外一点，PC=2PC=2，点 PP 到 ∠ACB\angle ACB 两边 ACAC，BCBC 的距离均为 3\sqrt3，那么 PP 到平面 ABCABC 的距离为______.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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16三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=2sin⁡x+sin⁡2xf(x)=2\sin x+\sin2x，则 f(x)f(x) 的最小值是______.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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15导数及其应用★★★★☆
设 x3+ax+b=0x^{3} + ax + b = 0，其中 aa，bb 均为实数. 下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是______.
① a=−3a = -3，b=−3b = -3； ② a=−3a = -3，b=2b = 2； ③ a=−3a = -3，b>2b > 2； ④ a=0a = 0，b=2b = 2； ⑤ a=1a = 1，b=2b = 2.
\begin{solution} 令 g(x)=x3+ax+bg(x)=x^3+ax+b，则 g′(x)=3x2+ag'(x)=3x^2+a.
当 a=−3a=-3 时，g′(x)=3(x2−1)g'(x)=3(x^2-1)，极值点为 x=−1x=-1，11，且 g(−1)=b+2g(-1)=b+2，g(1)=b−2g(1)=b-2. 条件\circled{1}中 b=−3b=-3，两个极值点的函数值均为负，曲线只在 x>1x>1 上与 xx 轴相交一次；条件\circled{2}中 b=2b=2，方程为 x3−3x+2=(x−1)2(x+2)=0x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)=0，有两个不同的实根，故不满足；条件\circled{3}中 b>2b>2，两个极值点的函数值均为正，曲线只在 x<−1x<-1 上与 xx 轴相交一次.
条件\circled{4}中方程为 x3+2=0x^3+2=0，函数 x3+2x^3+2 严格递增，只有一个实根；条件\circled{5}中 g′(x)=3x2+1>0g'(x)=3x^2+1>0，函数严格递增，也只有一个实根. 所以正确条件为 \circled1\circled{1}，\circled3\circled{3}，\circled4\circled{4}，\circled5\circled{5}. \end{solution}

2015 · 安徽 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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14解析几何★★★★☆
设 F1F_{1}，F2F_{2} 分别是椭圆 E:x2+y2b2=1E: x^{2} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1（0<b<10 < b < 1）的左，右焦点，过点 F1F_{1} 的直线交椭圆 EE 于 AA，BB 两点，若 ∣AF1∣=3∣BF1∣|AF_{1}| = 3|BF_{1}|，AF2⊥xAF_{2} \perp x 轴，则椭圆 EE 的方程为______.
\begin{solution} 设椭圆焦半距为 cc，则 c2=1−b2c^{2}=1-b^{2}，且 F1=(−c,0)F_{1}=(-c,0)，F2=(c,0)F_{2}=(c,0). 由 AF2⊥xAF_{2}\perp x 轴，点 AA 的横坐标为 cc. 将 x=cx=c 代入椭圆方程，得 y2=b4y^{2}=b^{4}，所以 A=(c,±b2)A=(c,\pm b^{2}). 对上方情形 A=(c,b2)A=(c,b^{2}) 作如下计算；下方情形只需将 b2b^{2} 换成 −b2-b^{2}，代入后的交点方程仍相同，所得距离比也相同.
参数化直线 F1AF_{1}A：X(t)=(−c,0)+t(2c,b2)X(t)=(-c,0)+t(2c,b^{2})，其中 t=1t=1 对应点 AA. 代入椭圆方程，得 c2(2t−1)2+b2t2=1c^{2}(2t-1)^{2}+b^{2}t^{2}=1. 该方程的一个根为 11，另一个根 tBt_B 满足 tB=c2−14c2+b2=−b24c2+b2t_B=\dfrac{c^{2}-1}{4c^{2}+b^{2}}=-\dfrac{b^{2}}{4c^{2}+b^{2}}. 因而 BB 在 F1F_1 的另一侧，且 ∣BF1∣=b24c2+b2∣AF1∣\lvert BF_1\rvert=\dfrac{b^{2}}{4c^{2}+b^{2}}\lvert AF_1\rvert. 由 ∣AF1∣=3∣BF1∣\lvert AF_1\rvert=3\lvert BF_1\rvert，得 4c2+b2=3b24c^{2}+b^{2}=3b^{2}，即 b2=2c2b^{2}=2c^{2}. 再结合 b2+c2=1b^{2}+c^{2}=1，得 b2=23b^{2}=\dfrac23. 所以椭圆方程为 x2+32y2=1x^{2}+\dfrac{3}{2}y^{2}=1. \end{solution}

2014 · 安徽 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15立体几何初步★★★★☆
如图，正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的棱长为 11，PP 为 BCBC 中点，QQ 为线段 CC1CC_{1} 上的动点，过 AA，PP，QQ 的平面截该正方体所得的截面记为 SS，则下列命题正确的是______.（写出所有正确命题的编号）
① 当 0<CQ<120 < CQ < \frac{1}{2} 时，SS 为四边形； ② 当 CQ=12CQ = \frac{1}{2} 时，SS 为等腰梯形； ③ 当 CQ=34CQ = \frac{3}{4} 时，SS 与 C1D1C_{1}D_{1} 交点 RR 满足 C1R=13C_{1}R = \frac{1}{3}； ④ 当 34<CQ<1\frac{3}{4} < CQ < 1 时，SS 为六边形； ⑤ 当 CQ=1CQ = 1 时，SS 的面积为 62\frac{\sqrt{6}}{2}.

2013 · 安徽 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15立体几何初步★★★★☆
如图，正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的棱长为 11，PP 为 BCBC 中点，QQ 为线段 CC1CC_{1} 上的动点，过 AA，PP，QQ 的平面截该正方体所得的截面记为 SS，则下列命题正确的是______.（写出所有正确命题的编号）
① 当 0<CQ<120 < CQ < \frac{1}{2} 时，SS 为四边形； ② 当 CQ=12CQ = \frac{1}{2} 时，SS 为等腰梯形； ③ 当 CQ=34CQ = \frac{3}{4} 时，SS 与 C1D1C_1D_1 交点 RR 满足 C1R=13C_1R = \frac{1}{3}； ④ 当 34<CQ<1\frac{3}{4} < CQ < 1 时，SS 为六边形； ⑤ 当 CQ=1CQ = 1 时，SS 的面积为 62\frac{\sqrt{6}}{2}.

2013 · 安徽 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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15三角函数★★★★☆
设 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 所对边的长分别为 aa，bb，cc，则下列命题正确的是______. （写出所有正确命题的编号）
① 若 ab>c2ab > c^2，则 C<π3C < \frac{\pi}{3}. ② 若 a+b>2ca + b > 2c，则 C<π3C < \frac{\pi}{3}. ③ 若 a3+b3=c3a^3 + b^3 = c^3，则 C<π2C < \frac{\pi}{2}. ④ 若 (a+b)c<2ab(a + b)c < 2ab，则 C>π2C > \frac{\pi}{2}. ⑤ 若 (a2+b2)c2<2a2b2(a^2 + b^2)c^2 < 2a^2b^2，则 C>π3C > \frac{\pi}{3}.

2012 · 安徽 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15平面向量★★★★☆
若四面体 ABCDABCD 的三组对棱分别相等，即 AB=CDAB = CD，AC=BDAC = BD，AD=BCAD = BC，则______.（写出所有正确结论编号）
① 四面体 ABCDABCD 每组对棱相互垂直； ② 四面体 ABCDABCD 每个面的面积相等； ③ 从四面体 ABCDABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于 90∘90^{\circ} 而小于 180∘180^{\circ}； ④ 连接四面体 ABCDABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分； ⑤ 从四面体 ABCDABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长.

2012 · 安徽 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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15解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系中，如果 xx 与 yy 都是整数，就称点 (x,y)(x, y) 为整点，下列命题中正确的是______. （写出所有正确命题的编号）
① 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ② 如果 kk 与 bb 都是无理数，则直线 y=kx+by = kx + b 不经过任何整点； ③ 直线 ll 经过无穷多个整点，当且仅当 ll 经过两个不同的整点； ④ 直线 y=kx+by = kx + b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：kk 与 bb 都是有理数； ⑤ 存在恰经过一个整点的直线.

2011 · 安徽 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15三角函数★★★★☆
设 f(x)=asin⁡2x+bcos⁡2xf(x) = a\sin 2x + b\cos 2x，其中 aa，b∈Rb \in \mathbf{R}，ab≠0ab \neq 0，若 f(x)⩽∣f(π6)∣f(x) \leqslant \left|f\left(\frac{\pi}{6}\right)\right| 对一切 x∈Rx \in \mathbf{R} 恒成立，则
① f(11π12)=0f\left(\frac{11\pi}{12}\right) = 0； ② f(7π10)<∣f(π5)∣f\left(\frac{7\pi}{10}\right) < \left|f\left(\frac{\pi}{5}\right)\right|； ③ f(x)f(x) 既不是奇函数，也不是偶函数； ④ f(x)f(x) 的单调递增区间是 [kπ+π6,kπ+2π3]\left[k\pi + \frac{\pi}{6}, k\pi + \frac{2\pi}{3}\right]（k∈Zk \in \mathbf{Z}）； ⑤ 存在经过点 (a,b)(a, b) 的直线与函数 f(x)f(x) 的图象不相交.
以上结论正确的是______.（写出所有正确结论的编号）

2011 · 安徽 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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15立体几何初步★★★★☆
对于四面体 ABCDABCD，下列命题正确的是______.（写出所有正确命题的编号）
① 相对棱 ABAB 与 CDCD 所在的直线异面； ② 由顶点 AA 作四面体的高，其垂足是 △BCD\triangle BCD 的三条高线的交点； ③ 若分别作 △ABC\triangle ABC 和 △ABD\triangle ABD 的边 ABAB 上的高，则这两条高所在直线异面； ④ 分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点； ⑤ 最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱.

2009 · 安徽 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15立体几何初步★★★★☆
对于四面体 ABCDABCD，下列命题正确的是______.（写出所有正确命题的编号）
① 相对棱 ABAB 与 CDCD 所在的直线异面； ② 由顶点 AA 作四面体的高，其垂足是 △BCD\triangle BCD 的三条高线的交点； ③ 若分别作 △ABC\triangle ABC 和 △ABD\triangle ABD 的边 ABAB 上的高，则这两条高所在直线异面； ④ 任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积； ⑤ 分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点.

2009 · 安徽 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★★☆
已知 AA，BB，CC，DD 在同一个球面上，AB⊥AB \perp 平面 BCDBCD，BC⊥CDBC \perp CD，若 AB=6AB = 6，AC=213AC = 2\sqrt{13}，AD=8AD = 8，则 BB，CC 两点间的球面距离是______.

2008 · 安徽 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★★☆
已知 AA，BB，CC，DD 在同一个球面上，AB⊥AB \perp 平面 BCDBCD，BC⊥CDBC \perp CD，若 AB=6AB = 6，AC=213AC = 2\sqrt{13}，AD=8AD = 8，则 BB，CC 两点间的球面距离是______.

2008 · 安徽 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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15立体几何初步★★★★☆
在正方体上任意选择 4 个顶点，它们可能是如下各种几何形体的 4 个顶点，这些几何形体是______.（写出所有正确结论的编号）
① 矩形； ② 不是矩形的平行四边形； ③ 有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体； ④ 每个面都是等边三角形的四面体； ⑤ 每个面都是直角三角形的四面体.

2007 · 安徽 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★★☆
平行四边形的一个顶点 AA 在平面 α\alpha 内，其余顶点在 α\alpha 的同侧，已知其中两个顶点到 α\alpha 的距离分别为 1,21, 2，那么剩下的一个顶点到平面 α\alpha 的距离可能是：
① 11 ② 22 ③ 33 ④ 44
以上结论正确的是______.（写出所有正确结论的编号）

2006 · 安徽 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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