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075分三角函数★★★★☆
当 x∈[0,2π]x\in[0,2\pi] 时，曲线 y=sin⁡xy=\sin x 与 y=2sin⁡ ⁣(3x−π6)y=2\sin\!\left(3x-\frac{\pi}{6}\right) 的交点个数为（ ）
A.
3
B.
4
C.
6
D.
8

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 7 题 · 选择题

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085分数列★★★★☆
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，且 f(x)>f(x−1)+f(x−2)f(x)>f(x-1)+f(x-2)， 当 x<3x<3 时 f(x)=xf(x)=x. 则下列结论中一定正确的是（ ）
A.
f(10)>100f(10)>100
B.
f(20)>1000f(20)>1000
C.
f(10)<1000f(10)<1000
D.
f(20)<10000f(20)<10000

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 8 题 · 选择题

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04不等式★★★★☆
嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 {bn}\{b_n\}：b1=1+1α1b_1=1+\frac{1}{\alpha_1}，b2=1+1α1+1α2b_2=1+\frac{1}{\alpha_1+\frac{1}{\alpha_2}}，b3=1+1α1+1α2+1α3b_3=1+\frac{1}{\alpha_1+\frac{1}{\alpha_2+\frac{1}{\alpha_3}}}，…，依此类推，其中 αk∈N∗\alpha_k\in\mathbf{N}^*（k=1k=1，22，…\dots），则（ ）
A.
b1<b5b_1<b_5
B.
b3<b8b_3<b_8
C.
b6<b2b_6<b_2
D.
b4<b7b_4<b_7

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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09立体几何初步★★★★☆
已知球 OO 的半径为 11，四棱锥的顶点为 OO，底面的四个顶点均在球 OO 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A.
13\frac{1}{3}
B.
12\frac{1}{2}
C.
33\frac{\sqrt{3}}{3}
D.
22\frac{\sqrt{2}}{2}

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10概率与统计★★★★☆
某棋手与甲，乙，丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立. 已知该棋手与甲，乙，丙比赛获胜的概率分别为 p1p_1，p2p_2，p3p_3，且 p3>p2>p1>0p_3>p_2>p_1>0. 记该棋手连胜两盘的概率为 pp，则（ ）
A.
pp 与该棋手和甲，乙，丙的比赛次序无关
B.
该棋手在第二盘与甲比赛，pp 最大
C.
该棋手在第二盘与乙比赛，pp 最大
D.
该棋手在第二盘与丙比赛，pp 最大

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)f(x)，g(x)g(x) 的定义域均为 R\mathbf{R}，且 f(x)+g(2−x)=5f(x)+g(2-x)=5，g(x)−f(x−4)=7g(x)-f(x-4)=7. 若 y=g(x)y=g(x) 的图像关于直线 x=2x=2 对称，g(2)=4g(2)=4，则 ∑k=122f(k)=\sum_{k=1}^{22}f(k)=（ ）
A.
−21-21
B.
−22-22
C.
−23-23
D.
−24-24

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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11解析几何★★★★☆
设 BB 是椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的上顶点，若 CC 上的任意一点 PP 都满足 ∣PB∣≤2b|PB|\le 2b，则 CC 的离心率的取值范围是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
A.
[22,1)\left[ \frac{\sqrt2}{2},1 \right)
B.
[12,1)\left[ \frac{1}{2},1 \right)
C.
(0,22]\left( 0,\frac{\sqrt2}{2} \right]
D.
(0,12]\left( 0,\frac{1}{2} \right]

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12指数函数与对数函数★★★★☆
设 a=2ln⁡1.01a=2\ln 1.01，b=ln⁡1.02b=\ln 1.02，c=1.04−1c=\sqrt{1.04}-1，则（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
a<b<ca<b<c
B.
b<c<ab<c<a
C.
b<a<cb<a<c
D.
c<a<bc<a<b

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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12导数及其应用★★★★☆
设 a≠0a\ne0，若 x=ax=a 是函数 f(x)=a(x−a)2(x−b)f(x)=a\left(x-a\right)^2\left(x-b\right) 的极大值点，则（ ）
A.
a<ba<b
B.
a>ba>b
C.
ab<a2ab<a^2
D.
ab>a2ab>a^2

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★★☆
若 2a+log⁡2a=4b+2log⁡4b2^a+\log_2 a=4^b+2\log_4 b，则（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
a>2ba>2b
B.
a<2ba<2b
C.
a>b2a>b^2
D.
a<b2a<b^2

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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12立体几何初步★★★★☆
已知三棱锥 P−ABCP-ABC 的四个顶点在球 OO 的球面上，PA=PB=PCPA=PB=PC，△ABC\triangle ABC 是边长为 22 的正三角形，EE，FF 分别是 PAPA，ABAB 的中点，∠CEF=90∘\angle CEF=90^\circ，则球 OO 的体积为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
A.
86π8\sqrt6\pi
B.
46π4\sqrt6\pi
C.
26π2\sqrt6\pi
D.
6π\sqrt6\pi

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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12解析几何★★★★☆
已知椭圆 CC 的焦点为 F1(−1,0)F_1(-1,0)，F2(1,0)F_2(1,0)，过 F2F_2 的直线与 CC 交于 AA，BB 两点. 若 ∣AF2∣=2∣F2B∣|AF_2|=2|F_2B|，∣AB∣=∣BF1∣|AB|=|BF_1|，则 CC 的方程为（ ）
A.
x22+y2=1\dfrac{x^2}{2}+y^2=1
B.
x23+y22=1\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{y^2}{2}=1
C.
x24+y23=1\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1
D.
x25+y24=1\dfrac{x^2}{5}+\dfrac{y^2}{4}=1

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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11解析几何★★★★☆
已知双曲线 C:x23−y2=1C:\frac{x^2}{3}-y^2=1，OO 为坐标原点，FF 为 CC 的右焦点，过 FF 的直线与 CC 的两条渐近线的交点分别为 MM，NN. 若 △OMN\triangle OMN 为直角三角形，则 ∣MN∣=\lvert MN\rvert=（ ）
A.
32\frac32
B.
33
C.
232\sqrt3
D.
44

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12立体几何初步★★★★☆
已知正方体的棱长为 11，每条棱所在直线与平面 α\alpha 所成的角都相等，则 α\alpha 截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）
A.
334\frac{3\sqrt3}{4}
B.
233\frac{2\sqrt3}{3}
C.
324\frac{3\sqrt2}{4}
D.
32\frac{\sqrt3}{2}

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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10三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=Asin⁡(ωx+φ)f(x) = A \sin (\omega x + \varphi) （AA，ω\omega，φ\varphi 均为正的常数） 的最小正周期为 π\pi，当 x=2π3x = \frac{2\pi}{3} 时，函数 f(x)f(x) 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）
\begin{solution} 最小正周期满足 2πω=π\dfrac{2\pi}{\omega}=\pi，所以 ω=2\omega=2. 在 x=2π3x=\frac{2\pi}{3} 时取得最小值，故
sin⁡(4π3+φ)=−1\sin\left(\frac{4\pi}{3}+\varphi\right)=-1
从而 φ=π6+2kπ\varphi=\frac{\pi}{6}+2k\pi. 相位相差整数个周期不改变函数，故可取 f(x)=Asin⁡(2x+π6)f(x)=A\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right).
因为 7π6<4<4π37\frac{\pi}{6}<4<4\frac{\pi}{3}，所以 sin⁡4<0\sin4<0，并且 π6−4\frac{\pi}{6}-4 加上 2π2\pi 后落在 (5π6,π)(5\frac{\pi}{6},\pi) 内. 于是
f(2)−f(−2)=A[sin⁡(4+π6)−sin⁡(π6−4)]=A3sin⁡4<0f(2)-f(-2)=A\left[\sin\left(4+\frac{\pi}{6}\right)-\sin\left(\frac{\pi}{6}-4\right)\right]=A\sqrt{3}\sin4<0
且 f(−2)=Asin⁡(π6−4)<Asin⁡π6=f(0)f(-2)=A\sin(\frac{\pi}{6}-4)<A\sin\frac{\pi}{6}=f(0). 因此 f(2)<f(−2)<f(0)f(2)<f(-2)<f(0)，选 A. \end{solution}
A.
f(2)<f(−2)<f(0)f(2) < f(-2) < f(0)
B.
f(0)<f(2)<f(−2)f(0) < f(2) < f(-2)
C.
f(−2)<f(0)<f(2)f(-2) < f(0) < f(2)
D.
f(2)<f(0)<f(−2)f(2) < f(0) < f(-2)

2015 · 安徽 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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10平面向量★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，∣a∣=∣b∣=1|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| = 1，a⋅b=0\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0，点 QQ 满足 OQ→=2(a+b)\overrightarrow{OQ} = \sqrt{2}(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}). 曲线 C={P∣OP→=acos⁡θ+bsin⁡θ,0⩽θ<2π}C = \left\{P \mid \overrightarrow{OP} = \boldsymbol{a} \cos \theta + \boldsymbol{b} \sin \theta, 0 \leqslant \theta < 2\pi\right\}，区域 Ω={P∣0<r⩽∣PQ→∣⩽R,r<R}\Omega = \left\{P \mid 0 < r \leqslant \left|\overrightarrow{PQ}\right| \leqslant R, r < R\right\}. 若 C∩ΩC \cap \Omega 为两段分离的曲线，则（ ）
\begin{solution} 取 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 为平面内两条互相垂直的单位向量作为坐标基底，则点 PP 的坐标可表示为 (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta,\sin\theta)，点 QQ 的坐标为 (2,2)(\sqrt{2},\sqrt{2}). 因而 ∣PQ→∣2=(cos⁡θ−2)2+(sin⁡θ−2)2=5−22(cos⁡θ+sin⁡θ)=5−4cos⁡(θ−π4)\lvert\overrightarrow{PQ}\rvert^{2}=(\cos\theta-\sqrt{2})^{2}+(\sin\theta-\sqrt{2})^{2}=5-2\sqrt{2}(\cos\theta+\sin\theta)=5-4\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right).
所以 ∣PQ→∣\lvert\overrightarrow{PQ}\rvert 的最小值为 11，最大值为 33，且在圆 CC 上分别只有一个最小点和一个最大点. 若 r⩽1r\leqslant1，内边界不会截去最小点附近的弧段；若 R⩾3R\geqslant3，外边界不会截去最大点附近的弧段，这两种情形都不能得到两段分离的曲线. 只有 1<r<R<31<r<R<3 时，内、外两个边界分别截去最小点和最大点附近的弧段，剩余部分恰为两段分离的曲线，故选 A. \end{solution}
A.
1<r<R<31 < r < R < 3
B.
1<r<3⩽R1 < r < 3 \leqslant R
C.
r⩽1<R<3r \leqslant 1 < R < 3
D.
1<r<3<R1 < r < 3 < R

2014 · 安徽 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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10平面向量★★★★☆
设 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 为非零向量，∣b∣=2∣a∣\left|\boldsymbol{b}\right| = 2\left|\boldsymbol{a}\right|，两组向量 x1\boldsymbol{x}_1，x2\boldsymbol{x}_2，x3\boldsymbol{x}_3，x4\boldsymbol{x}_4 和 y1\boldsymbol{y}_1，y2\boldsymbol{y}_2，y3\boldsymbol{y}_3，y4\boldsymbol{y}_4 均由 2 个2\text{ 个} a\boldsymbol{a} 和 2 个2\text{ 个} b\boldsymbol{b} 排列而成，若 x1⋅y1+x2⋅y2+x3⋅y3+x4⋅y4\boldsymbol{x}_1 \cdot \boldsymbol{y}_1 + \boldsymbol{x}_2 \cdot \boldsymbol{y}_2 + \boldsymbol{x}_3 \cdot \boldsymbol{y}_3 + \boldsymbol{x}_4 \cdot \boldsymbol{y}_4 所有可能取值中的最小值为 4∣a∣24\left|\boldsymbol{a}\right|^2，则 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
23π\frac{2}{3}\pi
B.
π3\frac{\pi}{3}
C.
π6\frac{\pi}{6}
D.
00

2014 · 安徽 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★★☆
函数 y=f(x)y = f(x) 的图象如图所示，在区间 [a,b][a, b] 上可找到 nn（n⩾2n \geqslant 2） 个不同的数 x1x_1，x2x_2，⋯\cdots，xnx_n，使得 f(x1)x1=f(x2)x2=⋯=f(xn)xn\frac{f(x_1)}{x_1} = \frac{f(x_2)}{x_2} = \cdots = \frac{f(x_n)}{x_n}，则 nn 的取值范围为（ ）
A.
{2,3}\{2, 3\}
B.
{2,3,4}\{2, 3, 4\}
C.
{3,4}\{3, 4\}
D.
{3,4,5}\{3, 4, 5\}

2013 · 安徽 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09平面向量★★★★☆
在平面直角坐标系中， OO 是坐标原点，两定点 AA，BB 满足 ∣OA→∣=∣OB→∣=OA→⋅OB→=2\left|\overrightarrow{OA}\right| = \left|\overrightarrow{OB}\right| = \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 2，则点集 {P∣OP→=λOA→+μOB→,∣λ∣+∣μ∣⩽1,λ,μ∈R}\left\{P \mid \overrightarrow{OP} = \lambda \overrightarrow{OA} + \mu \overrightarrow{OB}, |\lambda| + |\mu| \leqslant 1, \lambda, \mu \in \mathbf{R}\right\} 所表示的区域的面积是（ ）
A.
222\sqrt{2}
B.
232\sqrt{3}
C.
424\sqrt{2}
D.
434\sqrt{3}

2013 · 安徽 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10导数及其应用★★★★☆
若函数 f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c 有极值点 x1x_1，x2x_2，且 f(x1)=x1f(x_1) = x_1，则关于 xx 的方程 3(f(x))2+2af(x)+b=03(f(x))^2 + 2af(x) + b = 0 的不同实数根个数是（ ）
A.
3
B.
4
C.
5
D.
6

2013 · 安徽 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★★☆
函数 y=f(x)y = f(x) 的图象如图所示，在区间 [a,b][a, b] 上可找到 nn （n⩾2n \geqslant 2）个不同的数 x1x_1，x2x_2，⋯\cdots，xnx_n，使得 f(x1)x1=f(x2)x2=⋯=f(xn)xn\frac{f(x_1)}{x_1} = \frac{f(x_2)}{x_2} = \cdots = \frac{f(x_n)}{x_n}，则 nn 的取值范围为（ ）
A.
{2,3}\{2, 3\}
B.
{2,3,4}\{2, 3, 4\}
C.
{3,4}\{3, 4\}
D.
{3,4,5}\{3, 4, 5\}

2013 · 安徽 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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10导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c 有两个极值点 x1x_1，x2x_2，若 f(x1)=x1<x2f(x_1) = x_1 < x_2，则关于 xx 的方程 3(f(x))2+2af(x)+b=03(f(x))^2 + 2af(x) + b = 0 的不同实根个数为（ ）
A.
33
B.
44
C.
55
D.
66

2013 · 安徽 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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10计数原理与组合数学★★★★☆
6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品. 已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为（ ）
A.
1 或 3
B.
1 或 4
C.
2 或 3
D.
2 或 4

2012 · 安徽 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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09导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)f(x) 在 R\mathbf{R} 上满足 f(x)=2f(2−x)−x2+8x−8f(x) = 2f(2 - x) - x^2 + 8x - 8，则曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线方程是（ ）
A.
y=2x−1y = 2x - 1
B.
y=xy = x
C.
y=3x−2y = 3x - 2
D.
y=−2x+3y = -2x + 3

2009 · 安徽 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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11三角函数★★★★☆
如果 △A1B1C1\triangle A_{1}B_{1}C_{1} 的三个内角的余弦值分别等于 △A2B2C2\triangle A_{2}B_{2}C_{2} 的三个内角的正弦值，则（ ）
A.
△A1B1C1\triangle A_{1}B_{1}C_{1} 和 △A2B2C2\triangle A_{2}B_{2}C_{2} 都是锐角三角形
B.
△A1B1C1\triangle A_{1}B_{1}C_{1} 和 △A2B2C2\triangle A_{2}B_{2}C_{2} 都是钝角三角形
C.
△A1B1C1\triangle A_{1}B_{1}C_{1} 是钝角三角形，△A2B2C2\triangle A_{2}B_{2}C_{2} 是锐角三角形
D.
△A1B1C1\triangle A_{1}B_{1}C_{1} 是锐角三角形，△A2B2C2\triangle A_{2}B_{2}C_{2} 是钝角三角形

2006 · 安徽 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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