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145分数列★★★★☆
设实数 qq 满足：存在数列 {an}\{a_n\}，使得对于任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，均有 a1+a2+⋯+a3n=n2+na_1+a_2+\cdots+a_{3n}=n^2+n，且 {an}\{a_n\} 中有某连续 99 项 aka_k，ak+1a_{k+1}，⋯\cdots，ak+8a_{k+8} 是公比为 qq 的等比数列，则 qq 的最大值为______．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 14 题 · 填空题

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145分概率与统计★★★★☆
甲，乙两人各有四张卡片，甲为 {1,3,5,7}\{1,3,5,7\}，乙为 {2,4,6,8}\{2,4,6,8\}. 每轮各出一张牌比较大小，先大者得 11 分，先小者得 00 分，弃置该轮牌. 四轮后甲总得分不少于 22 的概率是______.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 14 题 · 填空题

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165分解析几何★★★★☆
已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0） 的左，右焦点分别为 F1F_1，F2F_2. 点 AA 在 CC 上，点 BB 在 yy 轴上，F1A⊥F1BF_1A\perp F_1B，F2A→=−23F2B→\overrightarrow{F_2A}=-\frac23\overrightarrow{F_2B}，则 CC 的离心率为______.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 16 题 · 填空题

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155分导数及其应用★★★★☆
若曲线 y=(x+a)exy=(x+a)\mathrm{e}^x 有两条过坐标原点的切线，则 aa 的取值范围是______.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 15 题 · 填空题

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165分解析几何★★★★☆
已知椭圆 C: x2a2+y2b2=1C:\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0），CC 的上顶点为 AA，两个焦点为 F1F_1，F2F_2，离心率为 12\frac12. 过 F1F_1 且垂直于 AF2AF_2 的直线与 CC 交于 DD，EE 两点，∣DE∣=6|DE|=6，则 △ADE\triangle ADE 的周长是______.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 16 题 · 填空题

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165分数列★★★★☆
某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为 20 dm×12 dm20\text{ dm}\times 12\text{ dm} 的长方形纸，对折 11 次共可以得到 10 dm×12 dm10\text{ dm}\times 12\text{ dm}，20 dm×6 dm20\text{ dm}\times 6\text{ dm} 两种规格的图形，它们的面积之和 S1=240 dm2S_1=240\text{ dm}^2；对折 22 次共可以得到 5 dm×12 dm5\text{ dm}\times 12\text{ dm}，10 dm×6 dm10\text{ dm}\times 6\text{ dm}，20 dm×3 dm20\text{ dm}\times 3\text{ dm} 三种规格的图形，它们的面积之和 S2=180 dm2S_2=180\text{ dm}^2. 以此类推.
(1) 对折 44 次共可以得到不同规格图形的种数为______； (2) 如果对折 nn 次，那么 ∑k=1nSk=‾ dm2\sum_{k=1}^n S_k=\underline{\hspace{2em}}\text{ dm}^2.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 16 题 · 填空题

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155分三角函数★★★★☆
某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示. OO 为圆孔及轮廓圆弧 ABAB 所在圆的圆心，AA 是圆弧 ABAB 与直线 AGAG 的切点，BB 是圆弧 ABAB 与直线 BCBC 的切点，四边形 DEFGDEFG 为矩形，BC⊥DGBC\perp DG，垂足为 CC，tan⁡∠ODC=35\tan\angle ODC=\dfrac{3}{5}，BH∥DGBH\parallel DG，EF=12 cmEF=12 \mathrm{~cm}，DE=2 cmDE=2 \mathrm{~cm}，AA 到直线 DEDE 和 EFEF 的距离均为 7 cm7 \mathrm{~cm}，圆孔半径为 1 cm1 \mathrm{~cm}，则图中阴影部分的面积为______\ cm2\mathrm{cm}^2.

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 15 题 · 填空题

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165分立体几何初步★★★★☆
已知直四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的棱长均为 2，∠BAD=60∘\angle BAD=60^\circ. 以 D1D_1 为球心，5\sqrt{5} 为半径的球面与侧面 BCC1B1BCC_1B_1 的交线长为______.

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 16 题 · 填空题

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16解析几何★★★★☆
已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的左、右焦点分别为 F1F_1，F2F_2. 过 F1F_1 的直线与 CC 的两条渐近线分别交于 AA，BB 两点，若 F1A→=AB→\overrightarrow{F_1A}=\overrightarrow{AB}，F1B→⋅F2B→=0\overrightarrow{F_1B}\cdot\overrightarrow{F_2B}=0，则 CC 的离心率为______.
\begin{answer} 2 \end{answer}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★★☆
已知 ∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ，PP 为平面 ABCABC 外一点，PC=2PC=2，点 PP 到 ∠ACB\angle ACB 两边 ACAC，BCBC 的距离均为 3\sqrt3，那么 PP 到平面 ABCABC 的距离为______.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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16三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=2sin⁡x+sin⁡2xf(x)=2\sin x+\sin2x，则 f(x)f(x) 的最小值是______.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★★☆
已知函数
f(x)={∣x∣,x≤m,x2−2mx+4m,x>m,f(x)=\begin{cases} |x|,&x\le m,\\ x^2-2mx+4m,&x>m, \end{cases}
其中 m>0m>0，若存在实数 bb，使得关于 xx 的方程 f(x)=bf(x)=b 有三个不同的根，则 mm 的取值范围是______.

2016 · 山东 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★★☆
已知函数
f(x)={∣x∣,x≤m,x2−2mx+4m,x>m,f(x)=\begin{cases} |x|,&x\leq m,\\ x^2-2mx+4m,&x>m, \end{cases}
其中 m>0m>0. 若存在实数 bb，使得关于 xx 的方程 f(x)=bf(x)=b 有三个不同的根，则 mm 的取值范围是______.

2016 · 山东 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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15解析几何★★★★☆
平面直角坐标系 xOyxOy 中，双曲线 C1:x2a2−y2b2=1C_1: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1（a>0a > 0，b>0b > 0）的渐近线与抛物线 C2:x2=2pyC_2: x^2 = 2py（p>0p > 0）交于 OO，AA，BB. 若 △OAB\triangle OAB 的垂心为 C2C_2 的焦点，则 C1C_1 的离心率为______.

2015 · 山东 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15导数及其应用★★★★☆
已知函数 y=f(x)y = f(x)（x∈Rx \in \mathbf{R}）. 对函数 y=g(x)y = g(x) （x∈Ix \in I），定义 g(x)g(x) 关于 f(x)f(x) 的“对称函数”为函数 y=h(x)y = h(x) （x∈Ix \in I），y=h(x)y = h(x) 满足：对任意 x∈Ix \in I，两个点 (x,h(x))(x, h(x))，(x,g(x))(x, g(x)) 关于点 (x,f(x))(x, f(x)) 对称. 若 h(x)h(x) 是 g(x)=4−x2g(x) = \sqrt{4 - x^2} 关于 f(x)=3x+bf(x) = 3x + b 的“对称函数”，且 h(x)>g(x)h(x) > g(x) 恒成立，则实数 bb 的取值范围是______.

2014 · 山东 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15解析几何★★★★☆
已知双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1（a>0a > 0，b>0b > 0）的焦距为 2c2c，右顶点为 AA，抛物线 x2=2pyx^2 = 2py（p>0p > 0）的焦点为 FF. 若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c2c，且 FA=cFA = c，则双曲线的渐近线方程为______.

2014 · 山东 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16函数与初等函数★★★★☆
定义“正对数”：
ln⁡+x={0,0<x<1,ln⁡x,x⩾1.\ln^+x = \begin{cases} 0, & 0 < x < 1,\\ \ln x, & x \geqslant 1. \end{cases}
现有四个命题：
① 若 a>0a > 0，b>0b > 0，则 ln⁡+(ab)=bln⁡+a\ln^+(a^b) = b\ln^+a； ② 若 a>0a > 0，b>0b > 0，则 ln⁡+(ab)=ln⁡+a+ln⁡+b\ln^+(ab) = \ln^+a + \ln^+b； ③ 若 a>0a > 0，b>0b > 0，则 ln⁡+ ⁣(ab)⩾ln⁡+a−ln⁡+b\ln^+\!\left(\frac{a}{b}\right) \geqslant \ln^+a - \ln^+b； ④ 若 a>0a > 0，b>0b > 0，则 ln⁡+(a+b)⩽ln⁡+a+ln⁡+b+ln⁡2\ln^+(a + b) \leqslant \ln^+a + \ln^+b + \ln 2.
其中真命题有______. （写出所有真命题的编号）

2013 · 山东 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16函数与初等函数★★★★☆
定义“正对数”：
ln⁡+x={0,0<x<1,ln⁡x,x⩾1\ln^{+} x=\begin{cases} 0,&0<x<1,\\ \ln x,&x\geqslant1 \end{cases}
. 现有四个命题：
① 若 a>0a > 0，b>0b > 0，则 ln⁡+(ab)=bln⁡+a\ln^{+}(a^{b}) = b\ln^{+} a； ② 若 a>0a > 0，b>0b > 0，则 ln⁡+(ab)=ln⁡+a+ln⁡+b\ln^{+}(ab) = \ln^{+}a + \ln^{+}b； ③ 若 a>0a > 0，b>0b > 0，则 ln⁡+(ab)⩾ln⁡+a−ln⁡+b\ln^{+}\left(\frac{a}{b}\right) \geqslant \ln^{+} a - \ln^{+} b； ④ 若 a>0a > 0，b>0b > 0，则 ln⁡+(a+b)⩽ln⁡+a+ln⁡+b+ln⁡2\ln^{+}(a + b) \leqslant \ln^{+} a + \ln^{+} b + \ln 2.
其中真命题有______.（写出所有真命题的编号）

2013 · 山东 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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16三角函数★★★★☆
如图，在平面直角坐标系 xOyxOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在 (0,1)(0, 1)，此时圆上一点 PP 的位置在 (0,0)(0, 0). 圆在 xx 轴上沿正向滚动. 当圆滚动到圆心位于 (2,1)(2, 1) 时，OP→\overrightarrow{OP} 的坐标为______.

2012 · 山东 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16函数与初等函数★★★★☆
已知定义在 R\mathbf{R} 上的奇函数 f(x)f(x)，满足 f(x−4)=−f(x)f(x - 4) = -f(x)，且在区间 [0,2][0, 2] 上是增函数，若方程 f(x)=mf(x) = m（m>0m > 0）在区间 [−8,8][-8, 8] 上有四个不同的根 x1x_1，x2x_2，x3x_3，x4x_4，则 x1+x2+x3+x4=x_1 + x_2 + x_3 + x_4 =______.

2009 · 山东 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★★☆
若函数 f(x)=ax−x−af(x) = a^x - x - a（a>0a > 0 且 a≠1a \neq 1）有两个零点，则实数 aa 的取值范围是______.

2009 · 山东 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★★★☆
与直线 x+y−2=0x + y - 2 = 0 和曲线 x2+y2−12x−12y+54=0x^{2} + y^{2} - 12x - 12y + 54 = 0 都相切的半径最小的圆的标准方程是______.
\begin{answer}(x−2)2+(y−2)2=2\left(x - 2\right)^2 + \left(y - 2\right)^2 = 2\end{answer}
\begin{solution} 已知曲线化为
(x−6)2+(y−6)2=18(x-6)^2+(y-6)^2=18
所以其圆心为 O1(6,6)O_1(6,6)，半径为 R=32R=3\sqrt{2}. 圆心到直线 x+y−2=0x+y-2=0 的距离为
d(O1,l)=∣6+6−2∣2=52d(O_1,l)=\frac{|6+6-2|}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}
设所求圆圆心为 PP，半径为 rr. 它与直线相切，所以 d(P,l)=rd(P,l)=r. 先考虑两圆外切，此时 PO1=R+rPO_1=R+r. 若 PP 与 O1O_1 位于直线两侧，则
PO1⩾d(O1,l)+d(P,l)=52+r>R+rPO_1\geqslant d(O_1,l)+d(P,l)=5\sqrt{2}+r>R+r
不可能外切；故二者在直线同侧，从而
PO1⩾d(O1,l)−d(P,l)=52−rPO_1\geqslant d(O_1,l)-d(P,l)=5\sqrt{2}-r
于是 R+r⩾52−rR+r\geqslant5\sqrt{2}-r，r⩾52−322=2r\geqslant\frac{5\sqrt{2}-3\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}. 若所求圆内切于已知圆，则它完全位于已知圆内，而已知圆到直线的最小距离为 52−32=22>05\sqrt{2}-3\sqrt{2}=2\sqrt{2}>0，不可能又与该直线相切；若已知圆内切于所求圆，则 r>R=32>2r>R=3\sqrt{2}>\sqrt{2}. 因此所有情形均有 r⩾2r\geqslant\sqrt{2}.
取圆心 P(2,2)P(2,2)，则 d(P,l)=2d(P,l)=\sqrt{2}，且
PO1=(6−2)2+(6−2)2=42=R+2PO_1=\sqrt{(6-2)^2+(6-2)^2}=4\sqrt{2}=R+\sqrt{2}
故该圆同时与直线和已知圆相切，并达到下界. 所求圆为
(x−2)2+(y−2)2=2(x-2)^2+(y-2)^2=2
\end{solution}

2007 · 山东 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16解析几何★★★★☆
与直线 x+y−2=0x + y - 2 = 0 和曲线 x2+y2−12x−12y+54=0x^{2} + y^{2} - 12x - 12y + 54 = 0 都相切的半径最小的圆的标准方程是______.

2007 · 山东 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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16三角函数★★★★☆
下列四个命题中，真命题的序号有______.（写出所有真命题的序号）
① 将函数y=∣x+1∣y=|x+1|的图象按向量v=(−1,0)\boldsymbol{v}=(-1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为y=∣x∣y=|x|； ② 圆x2+y2+4x+2y+1=0x^2+y^2+4x+2y+1=0与直线y=12xy=\dfrac12x相交，所得弦长为22； ③ 若sin⁡(α+β)=12\sin(\alpha+\beta)=\dfrac12，sin⁡(α−β)=13\sin(\alpha-\beta)=\dfrac13，则tan⁡αcot⁡β=5\tan\alpha\cot\beta=5； ④ 如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1，PP为底面ABCDABCD内一动点，PP到平面AA1D1DAA_1D_1D的距离与到直线CC1CC_1的距离相等，则PP点的轨迹是抛物线的一部分.

2006 · 山东 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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