信息熵是信息论中的一个重要概念. 设随机变量 $X$ 所有可能的取值为 $1$，$2$，$\cdots$，$n$，且 $P(X=i)=p_i>0$（$i=1$，$2$，$\cdots$，$n$），$\sum_{i=1}^{n}p_i=1$，定义 $X$ 的信息熵 $H(X)=-\sum_{i=1}^{n}p_i\log_2 p_i$. （ ）

某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示. $O$ 为圆孔及轮廓圆弧 $AB$ 所在圆的圆心，$A$ 是圆弧 $AB$ 与直线 $AG$ 的切点，$B$ 是圆弧 $AB$ 与直线 $BC$ 的切点，四边形 $DEFG$ 为矩形，$BC\perp DG$，垂足为 $C$，$\tan\angle ODC=\dfrac{3}{5}$，$BH\parallel DG$，$EF=12 \mathrm{~cm}$，$DE=2 \mathrm{~cm}$，$A$ 到直线 $DE$ 和 $EF$ 的距离均为 $7 \mathrm{~cm}$，圆孔半径为 $1 \mathrm{~cm}$，则图中阴影部分的面积为______\ $\mathrm{cm}^2$.

已知直四棱柱 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的棱长均为 2，$\angle BAD=60^\circ$. 以 $D_1$ 为球心，$\sqrt{5}$ 为半径的球面与侧面 $BCC_1B_1$ 的交线长为______.

如图，四棱锥 $P-ABCD$ 的底面为正方形，$PD\perp$底面 $ABCD$. 设平面 $PAD$ 与平面 $PBC$ 的交线为 $l$.

(1) 证明：$l\perp$平面 $PDC$； (2) 已知 $PD=AD=1$，$Q$ 为 $l$ 上的点，求 $PB$ 与平面 $QCD$ 所成角的正弦值的最大值.