数迹
题目列表试卷列表
共找到 57 题
排序：
组题
本页 25 题去组卷
1615分三角函数★★★★☆
已知在 △ABC\triangle ABC 中，AB=3AB=3，BC=23BC=2\sqrt{3}，cos⁡B=33\cos B=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.
(1) 求 cos⁡A\cos A； (2) 设 DD，EE 两点满足：DD 在 BABA 的延长线上，DE//BCDE // BC，AE⊥ACAE\perp AC. 若 DE=6DE=\sqrt{6}，求 CECE．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 16 题 · 解答题

查看答案和解析
1615分数列★★★★☆
设数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=3a_1 = 3，an+1n=ann+1+1n(n+1)\frac{a_{n+1}}{n} = \frac{a_n}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)}.
(1) 证明：{nan}\{na_n\} 为等差数列； (2) 给定正整数 mm，设函数 f(x)=a1x+a2x2+⋯+amxmf(x) = a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_mx^m，求 f′(−2)f'(-2).

2025 · 全国 · 一卷 · 第 16 题 · 解答题

查看答案和解析
1715分立体几何初步★★★★☆
如图所示的四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，PA⊥平面ABCDPA \perp \text{平面} ABCD，BC∥ADBC \parallel AD，AB⊥ADAB \perp AD.
(1) 证明：平面 PAB⊥平面PADPAB \perp \text{平面} PAD； (2) PA=AB=2PA = AB = \sqrt{2}，BC=2BC = 2，AD=1+3AD = 1 + \sqrt{3}，点 PP，BB，CC，DD 均在球 OO 的球面上.
(i) 证明：OO 在平面 ABCDABCD 上； (ii) 求直线 ACAC 与直线 POPO 所成角的余弦值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 17 题 · 解答题

查看答案和解析
1615分解析几何★★★★☆
已知 A(0,3)A(0,3)，P(3,32)P\left(3,\frac32\right) 都在椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0） 上.
(1) 求 CC 的离心率； (2) 过 PP 的直线 ll 交 CC 于另一点 BB，且 △ABP\triangle ABP 的面积为 99，求 ll 的方程.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 16 题 · 解答题

查看答案和解析
1715分立体几何初步★★★★☆
如图，四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中，PA⊥PA\perp 底面 ABCDABCD，且 PA=AC=2PA=AC=2，BC=1BC=1，AB=3AB=\sqrt3.
(1) 若 AD⊥PBAD\perp PB，证明 AD∥AD\parallel 平面 PBCPBC； (2) 若 AD⊥DCAD\perp DC，且二面角 A−CP−DA-CP-D 的正弦值为 427\frac{\sqrt{42}}{7}，求 ADAD.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 17 题 · 解答题

查看答案和解析
1817分立体几何初步★★★★☆
如图，在正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，AB=2AB=2，AA1=4AA_1=4. 点 A2A_2，B2B_2，C2C_2，D2D_2 分别在棱 AA1AA_1，BB1BB_1，CC1CC_1，DD1DD_1 上，且 AA2=1AA_2=1，BB2=DD2=2BB_2=DD_2=2，CC2=3CC_2=3.
(1) 证明：B2C2∥A2D2B_2C_2\parallel A_2D_2； (2) 点 PP 在棱 BB1BB_1 上，当二面角 P−A2C2−D2P-A_2C_2-D_2 为 150∘150^\circ 时，求 B2PB_2P.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析
1917分导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=a(ex+a)−xf(x)=a(\mathrm{e}^x+a)-x.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 证明：当 a>0a>0 时，f(x)>2ln⁡a+32f(x)>2\ln a+\frac32.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
2015分数列★★★★☆
设等差数列 {an}\{a_n\} 的公差为 dd，且 d>1d>1. 令 bn=n2+nanb_n=\frac{n^2+n}{a_n}，记 SnS_n，TnT_n 分别为数列 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 的前 nn 项和.
(1) 若 3a2=3a1+a33a_2=3a_1+a_3，S3+T3=21S_3+T_3=21，求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 若 {bn}\{b_n\} 为等差数列，且 S99−T99=99S_{99}-T_{99}=99，求 dd.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 20 题 · 解答题

查看答案和解析
2115分概率与统计★★★★☆
甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 0.60.6，乙每次投篮的命中率均为 0.80.8. 由抽签确定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲，乙的概率各为 0.50.5.
(1) 求第二次投篮的人是乙的概率； (2) 求第 ii 次投篮的人是甲的概率； (3) 已知：若随机变量 XiX_i 服从两点分布，且 P(Xi=1)=1−P(Xi=0)=qiP(X_i=1)=1-P(X_i=0)=q_i， i=1\ i=1，22，…\dots，nn，则 E(∑i=1nXi)=∑i=1nqiE\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)=\sum_{i=1}^n q_i. 记前 nn 次（即从第 11 次到第 nn 次）投篮中甲投篮的次数为 YY，求 E(Y)E(Y).

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
1817分三角函数★★★★☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，已知 cos⁡A1+sin⁡A=sin⁡2B1+cos⁡2B\frac{\cos A}{1+\sin A}=\frac{\sin 2B}{1+\cos 2B}.
(1) 若 C=2π3C=\frac{2\pi}{3}，求 BB； (2) 求 a2+b2c2\frac{a^2+b^2}{c^2} 的最小值.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析
2115分解析几何★★★★☆
已知点 A(2,1)A(2,1) 在双曲线 C: x2a2−y2a2−1=1C:\ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{a^2-1}=1（a>1a>1） 上，直线 ll 交 CC 于 PP，QQ 两点，直线 APAP，AQAQ 的斜率之和为 00.
(1) 求 ll 的斜率； (2) 若 tan⁡∠PAQ=22\tan \angle PAQ=2\sqrt2，求 △PAQ\triangle PAQ 的面积.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
1917分三角函数★★★★☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 已知 b2=acb^2=ac，点 DD 在边 ACAC 上，且 BDsin⁡∠ABC=asin⁡CBD\sin\angle ABC=a\sin C.
(1) 证明：BD=bBD=b； (2) 若 AD=2DCAD=2DC，求 cos⁡∠ABC\cos\angle ABC.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
2015分立体几何初步★★★★☆
如图，在三棱锥 A−BCDA-BCD 中，平面 ABD⊥ABD\perp 平面 BCDBCD，AB=ADAB=AD，OO 为 BDBD 的中点.
(1) 证明：OA⊥CDOA\perp CD； (2) 若 △OCD\triangle OCD 是边长为 11 的等边三角形，点 EE 在棱 ADAD 上，DE=2EADE=2EA，且二面角 E−BC−DE-BC-D 的大小为 45∘45^\circ，求三棱锥 A−BCDA-BCD 的体积.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 20 题 · 解答题

查看答案和解析
2115分解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知点 F1(−17,0)F_1(-\sqrt{17},0)，F2(17,0)F_2(\sqrt{17},0)，满足 ∣MF1∣−∣MF2∣=2|MF_1|-|MF_2|=2 的点 MM 的轨迹为 CC.
(1) 求 CC 的方程； (2) 设点 TT 在直线 x=12x=\frac{1}{2} 上，过 TT 的两条直线分别交 CC 于 AA，BB 两点和 PP，QQ 两点，且 TA⋅TB=TP⋅TQTA\cdot TB=TP\cdot TQ，求直线 ABAB 的斜率与直线 PQPQ 的斜率之和.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 21 题 · 解答题

查看答案和解析
18解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知椭圆 E:x24+y23=1E:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1 的左、右焦点分别为 F1F_1，F2F_2，点 AA 在椭圆 EE 上且在第一象限内，AF2⊥F1F2AF_2\perp F_1F_2，直线 AF1AF_1 与椭圆 EE 相交于另一点 BB.
(1) 求 △AF1F2\triangle AF_1F_2 的周长； (2) 在 xx 轴上任取一点 PP，直线 APAP 与椭圆 EE 的右准线相交于点 QQ，求 OP→⋅QP→\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{QP} 的最小值； (3) 设点 MM 在椭圆 EE 上，记 △OAB\triangle OAB 与 △MAB\triangle MAB 的面积分别为 S1S_1，S2S_2，若 S2=3S1S_2=3S_1，求点 MM 的坐标.

2020 · 江苏 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析
22立体几何初步★★★★☆
在三棱锥 A−BCDA-BCD 中，已知 CB=CD=5CB=CD=\sqrt5，BD=2BD=2，OO 为 BDBD 的中点，AO⊥AO\perp 平面 BCDBCD，AO=2AO=2，EE 为 ACAC 的中点.
(1) 求直线 ABAB 与 DEDE 所成角的余弦值； (2) 若点 FF 在 BCBC 上，满足 BF=14BCBF=\dfrac14BC，设二面角 F−DE−CF-DE-C 的大小为 θ\theta，求 sin⁡θ\sin\theta 的值.

2020 · 江苏 · 第 22 题 · 解答题

查看答案和解析
17解析几何★★★★☆
如图，在平面直角坐标系 xOyxOy 中，椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的焦点为 F1(−1,0)F_1(-1,0)，F2(1,0)F_2(1,0). 过 F2F_2 作 xx 轴的垂线 ll，在 xx 轴的上方，ll 与圆 F2F_2：(x−1)2+y2=4a2(x-1)^2+y^2=4a^2 交于点 AA，与椭圆 CC 交于点 DD. 连结 AF1AF_1 并延长交圆 F2F_2 于点 BB，连结 BF2BF_2 交椭圆 CC 于点 EE，连结 DF1DF_1. 已知 DF1=52DF_1=\dfrac52.
(1) 求椭圆 CC 的标准方程； (2) 求点 EE 的坐标.

2019 · 江苏 · 第 17 题 · 解答题

查看答案和解析
19导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=(x−a)(x−b)(x−c)f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)，aa，bb，c∈Rc\in\mathbf{R}，f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导函数.
(1) 若 a=b=ca=b=c，f(4)=8f(4)=8，求 aa 的值； (2) 若 a≠ba\ne b，b=cb=c，且 f(x)f(x) 和 f′(x)f'(x) 的零点均在集合 {−3,1,3}\{-3,1,3\} 中，求 f(x)f(x) 的极小值； (3) 若 a=0a=0，0<b≤10<b\le 1，c=1c=1，且 f(x)f(x) 的极大值为 MM，求证：M≤427M\le\dfrac4{27}.

2019 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析
23概率与统计★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，设点集 An={(0,0),(1,0),(2,0),…,(n,0)}A_n=\{(0,0),(1,0),(2,0),\dots,(n,0)\}，Bn={(0,1),(n,1)}B_n=\{(0,1),(n,1)\}，Cn={(0,2),(1,2),(2,2),…,(n,2)}C_n=\{(0,2),(1,2),(2,2),\dots,(n,2)\}，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*. 令 Mn=An∪Bn∪CnM_n=A_n\cup B_n\cup C_n. 从集合 MnM_n 中任取两个不同的点，用随机变量 XX 表示它们之间的距离.
(1) 当 n=1n=1 时，求 XX 的概率分布； (2) 对给定的正整数 nn（n≥3n\ge 3），求概率 P(X≤n)P(X\le n)（用 nn 表示）.

2019 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

查看答案和解析
17三角函数★★★★☆
某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 OO 的一段圆弧 MPNMPN（PP 为此圆弧的中点）和线段 MNMN 构成. 已知圆 OO 的半径为 40 米，点 PP 到 MNMN 的距离为 50 米. 现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚 I\mathrm{I} 内的地块形状为矩形 ABCDABCD，大棚 II\mathrm{II} 内的地块形状为 △CDP\triangle CDP，要求 AA，BB 均在线段 MNMN 上，CC，DD 均在圆弧上. 设 OCOC 与 MNMN 所成的角为 θ\theta.
(1) 用 θ\theta 分别表示矩形 ABCDABCD 和 △CDP\triangle CDP 的面积，并确定 sin⁡θ\sin\theta 的取值范围； (2) 若大棚 I\mathrm{I} 内种植甲种蔬菜，大棚 II\mathrm{II} 内种植乙种蔬菜，且甲，乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4:34:3，求当 θ\theta 为何值时，能使甲，乙两种蔬菜的年总产值最大.

2018 · 江苏 · 第 17 题 · 解答题

查看答案和解析
18解析几何★★★★☆
如图，在平面直角坐标系 xOyxOy 中，椭圆 CC 过点 (3,12)\left(\sqrt3,\dfrac12\right)，焦点 F1(−3,0)F_1(-\sqrt3,0)，F2(3,0)F_2(\sqrt3,0)，圆 OO 的直径为 F1F2F_1F_2.
(1) 求椭圆 CC 及圆 OO 的方程； (2) 设直线 ll 与圆 OO 相切于第一象限内的点 PP.
(i) 若直线 ll 与椭圆 CC 有且只有一个公共点，求点 PP 的坐标； (ii) 直线 ll 与椭圆 CC 交于 AA，BB 两点. 若 △OAB\triangle OAB 的面积为 267\dfrac{2\sqrt6}{7}，求直线 ll 的方程.

2018 · 江苏 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析
17解析几何★★★★☆
如图，在平面直角坐标系 xOyxOy 中，椭圆 E:x2a2+y2b2=1E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的左，右焦点分别为 F1F_1，F2F_2，离心率为 12\dfrac12，两准线之间的距离为 88. 点 PP 在椭圆 EE 上，且位于第一象限，过点 F1F_1 作直线 PF1PF_1 的垂线 l1l_1，过点 F2F_2 作直线 PF2PF_2 的垂线 l2l_2.
(1) 求椭圆 EE 的标准方程； (2) 若直线 l1l_1，l2l_2 的交点 QQ 在椭圆 EE 上，求点 PP 的坐标.

2017 · 江苏 · 第 17 题 · 解答题

查看答案和解析
18立体几何初步★★★★☆
如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器 II 和正四棱台形玻璃容器 IIII 的高均为 32 cm32\text{ cm}，容器 II 的底面对角线 ACAC 的长为 107 cm10\sqrt7\text{ cm}，容器 IIII 的两底面对角线 EGEG，E1G1E_1G_1 的长分别为 14 cm14\text{ cm} 和 62 cm62\text{ cm}. 分别在容器 II 和容器 IIII 中注入水，水深均为 12 cm12\text{ cm}. 现有一根玻璃棒 ll，其长度为 40 cm40\text{ cm}. （容器厚度，玻璃棒粗细均忽略不计）
(1) 将 ll 放在容器 II 中，ll 的一端置于点 AA 处，另一端置于侧棱 CC1CC_1 上，求 ll 没入水中部分的长度； (2) 将 ll 放在容器 IIII 中，ll 的一端置于点 EE 处，另一端置于侧棱 GG1GG_1 上，求 ll 没入水中部分的长度.

2017 · 江苏 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析
23概率与统计★★★★☆
已知一个口袋有 mm 个白球，nn 个黑球（mm，n∈N∗n\in \mathbf{N}^*，n≥2n\ge 2），这些球除颜色外全部相同. 现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为 11，22，33，…\ldots，m+nm+n 的抽屉内，其中第 kk 次取出的球放入编号为 kk 的抽屉（k=1k=1，22，33，…\ldots，m+nm+n）.
(1) 试求编号为 22 的抽屉内放的是黑球的概率 pp； (2) 随机变量 XX 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(X)E(X) 是 XX 的数学期望，证明 E(X)<n(m+n)(n−1)E(X)<\dfrac{n}{(m+n)(n-1)}.

2017 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

查看答案和解析
18解析几何★★★★☆
如图，在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知以 MM 为圆心的圆 M:x2+y2−12x−14y+60=0M:x^2+y^2-12x-14y+60=0 及其上一点 A(2,4)A(2,4).
(1) 设圆 NN 与 xx 轴相切，与圆 MM 外切，且圆心 NN 在直线 x=6x=6 上，求圆 NN 的标准方程； (2) 设平行于 OAOA 的直线 ll 与圆 MM 相交于 BB，CC 两点，且 BC=OABC=OA，求直线 ll 的方程； (3) 设点 T(t,0)T(t,0) 满足：存在圆 MM 上的两点 PP 和 QQ，使得 TA→+TP→=TQ→\overrightarrow{TA}+\overrightarrow{TP}=\overrightarrow{TQ}，求实数 tt 的取值范围.

2016 · 江苏 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析