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145分数列★★★★☆
设实数 qq 满足：存在数列 {an}\{a_n\}，使得对于任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，均有 a1+a2+⋯+a3n=n2+na_1+a_2+\cdots+a_{3n}=n^2+n，且 {an}\{a_n\} 中有某连续 99 项 aka_k，ak+1a_{k+1}，⋯\cdots，ak+8a_{k+8} 是公比为 qq 的等比数列，则 qq 的最大值为______．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 14 题 · 填空题

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145分概率与统计★★★★☆
甲，乙两人各有四张卡片，甲为 {1,3,5,7}\{1,3,5,7\}，乙为 {2,4,6,8}\{2,4,6,8\}. 每轮各出一张牌比较大小，先大者得 11 分，先小者得 00 分，弃置该轮牌. 四轮后甲总得分不少于 22 的概率是______.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 14 题 · 填空题

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16导数及其应用★★★★☆
设 a∈(0,1)a\in(0,1)，若函数 f(x)=ax+(1+a)x+1f(x)=a^x+(1+a)^{x+1} 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上单调递增，则 aa 的取值范围是______.

2023 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★★☆
以图 \circled1\circled{1} 为正视图，在图 \circled2\circled{2}，\circled3\circled{3}，\circled4\circled{4}，\circled5\circled{5} 中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为______（写出符合要求的一组答案即可）.

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★★☆
以图①为正视图，在图②，③，④，⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为______（写出符合要求的一组答案即可）.

2021 · 全国 · 乙卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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16三角函数★★★★☆
如图，在三棱锥 P−ABCP-ABC 的平面展开图中，AC=1AC=1，AB=AD=3AB=AD=\sqrt{3}，AB⊥ACAB\perp AC，AB⊥ADAB\perp AD，∠CAE=30∘\angle CAE=30^\circ，则 cos⁡∠FCB=‾\cos \angle FCB=\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} −14-\dfrac{1}{4} \end{answer}

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16数列★★★★☆
数列 {an}\{a_n\} 满足 an+2+(−1)nan=3n−1a_{n+2}+(-1)^n a_n=3n-1，前 1616 项和为 540540，则 a1=‾a_1=\underline{\hspace{2em}}.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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16解析几何★★★★☆
已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的左、右焦点分别为 F1F_1，F2F_2. 过 F1F_1 的直线与 CC 的两条渐近线分别交于 AA，BB 两点，若 F1A→=AB→\overrightarrow{F_1A}=\overrightarrow{AB}，F1B→⋅F2B→=0\overrightarrow{F_1B}\cdot\overrightarrow{F_2B}=0，则 CC 的离心率为______.
\begin{answer} 2 \end{answer}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★★☆
已知 ∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ，PP 为平面 ABCABC 外一点，PC=2PC=2，点 PP 到 ∠ACB\angle ACB 两边 ACAC，BCBC 的距离均为 3\sqrt3，那么 PP 到平面 ABCABC 的距离为______.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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16三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=2sin⁡x+sin⁡2xf(x)=2\sin x+\sin2x，则 f(x)f(x) 的最小值是______.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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15立体几何初步★★★★☆
如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 α\alpha 上，且 AB∥CDAB \parallel CD，则直线 EFEF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为______.

2013 · 江西 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★★☆
如图，在三棱锥 O−ABCO - ABC 中，三条棱 OAOA，OBOB，OCOC 两两垂直，且 OA>OB>OCOA > OB > OC，分别经过三条棱 OAOA，OBOB，OCOC 作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为 S1S_1，S2S_2，S3S_3，则 S1S_1，S2S_2，S3S_3 的大小关系为______.

2010 · 江西 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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15不等式★★★★☆
若不等式 9−x2⩽k(x+2)−2\sqrt{9 - x^2} \leqslant k(x + 2) - \sqrt{2} 的解集为区间 [a,b][a, b]，且 b−a=2b - a = 2，则 k=k =______.

2009 · 江西 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16解析几何★★★★☆
设直线系 M:xcos⁡θ+(y−2)sin⁡θ=1M: x \cos \theta + (y - 2) \sin \theta = 1（0⩽θ⩽2π0 \leqslant \theta \leqslant 2\pi），对于下列四个命题：
① MM 中所有直线均经过一个定点； ② 存在定点 PP 不在 MM 中的任一条直线上； ③ 对于任意整数 nn（n⩾3n \geqslant 3），存在正 nn 边形，其所有边均在 MM 中的直线上； ④ MM 中的直线所能围成的正三角形面积都相等.
其中真命题的代号是______.（写出所有真命题的代号）

2009 · 江西 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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15不等式★★★★☆
若不等式 4−x2⩽k(x+1)\sqrt{4-x^{2}} \leqslant k(x+1) 的解集为区间 [a,b][a,b]，且 b−a=1b-a = 1，则 k=‾k =\underline{\hspace{2em}}.
\begin{solution} 根式有意义要求 −2⩽x⩽2-2\leqslant x\leqslant2. 若 k>0k>0，当 x⩽−1x\leqslant-1 时右端不为正而左端非负，只有可能在 x=−2x=-2 时成立，但此时右端为 −k<0-k<0，仍不成立，所以解集包含于 (−1,2](-1,2]. 又 x=2x=2 对任意 k>0k>0 都满足不等式，故解集若为 [a,b][a,b]，必有 b=2b=2. 由 b−a=1b-a=1，得到 a=1a=1. 因为 11 是定义域内部的解集端点，连续函数两边的符号必须在此处改变，故在 x=1x=1 处取等号： 4−1=k(1+1)\sqrt{4-1}=k(1+1)，从而 k=32k=\frac{\sqrt{3}}{2}.
反向验证：当 k=32k=\frac{\sqrt{3}}{2} 时，解集必须满足 x>−1x>-1，且平方等价于 4−x2⩽34(x+1)24-x^{2}\leqslant\frac34(x+1)^{2}，即 7x2+6x−13⩾07x^{2}+6x-13\geqslant0，也就是 (7x+13)(x−1)⩾0(7x+13)(x-1)\geqslant0. 与 (−1,2](-1,2] 取交集，解集恰为 [1,2][1,2]，长度为 11.
若 k=0k=0，不等式只在 x=−2x=-2 或 x=2x=2 时成立，解集不是区间. 若 k<0k<0，成立时必须有 x<−1x<-1，且 −2-2 属于解集而 −1-1 不属于解集；若解集是长度为 11 的闭区间，就只能是 [−2,−1][-2,-1]，矛盾. 因而 k=32k=\frac{\sqrt{3}}{2}. \end{solution}

2009 · 江西 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16解析几何★★★★☆
设直线系 M:xcos⁡θ+(y−2)sin⁡θ=1M: x \cos \theta + (y - 2) \sin \theta = 1（0⩽θ⩽2π0 \leqslant \theta \leqslant 2\pi），对于下列四个命题：
① 存在一个圆与所有直线相交； ② 存在一个圆与所有直线不相交； ③ 存在一个圆与所有直线相切； ④ MM 中的直线所能围成的正三角形面积都相等.
其中真命题的代号是______. （写出所有真命题的代号）
\begin{solution} 将直线写成 xcos⁡θ+(y−2)sin⁡θ=1x\cos\theta+(y-2)\sin\theta=1. 点 P(0,2)P(0,2) 到任一直线的距离为 ∣0−1∣cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\frac{|0-1|}{\sqrt{\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta}}=1，所以 MM 中的所有直线都是圆 C:x2+(y−2)2=1C:x^{2}+(y-2)^{2}=1 的切线.
半径大于 11 且圆心为 PP 的圆与所有这些直线相交，半径小于 11 且圆心为 PP 的圆与所有这些直线均不相交，圆 CC 与所有这些直线相切，因此 A、B、C 都是真命题.
D 不成立. 例如取 θ=0\theta=0，2π3\frac{2\pi}{3}，4π3\frac{4\pi}{3}，所得正三角形的内切圆为 CC，内切半径为 11，面积为 333\sqrt{3}. 再取 θ=0\theta=0，π3\frac{\pi}{3}，5π3\frac{5\pi}{3}，令 u=xu=x，v=y−2v=y-2，三条直线为 u=1u=1、12u+32v=1\frac12u+\frac{\sqrt3}{2}v=1、12u−32v=1\frac12u-\frac{\sqrt3}{2}v=1. 它们的三个交点为 (2,0)(2,0)、(1,13)(1,\frac1{\sqrt3})、(1,−13)(1,-\frac1{\sqrt3})，故所得正三角形边长为 23\frac{2}{\sqrt3}，面积为 33\frac{\sqrt3}{3}. 两个面积不相等，故真命题的代号为 ABC. \end{solution}

2009 · 江西 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★★☆
如图 1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有 a 升a\text{ 升} 水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点 PP. 如果将容器倒置，水面也恰好过点 PP（图 2）. 有下列四个命题：
① 正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半； ② 将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点 PP； ③ 任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点 PP； ④ 若往容器内再注入 a 升a\text{ 升} 水，则容器恰好能装满.
其中真命题的代号是______.（写出所有真命题的代号）

2008 · 江西 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16解析几何★★★★☆
设有一组圆 Ck:(x−k+1)2+(y−3k)2=2k4C_k: (x - k + 1)^{2} + (y - 3k)^{2} = 2k^{4}（k∈N∗k \in \mathbf{N}^*）. 下面四个命题：
其中真命题的代号是______.（写出所有真命题的代号）
A.
存在一条定直线与所有的圆均相切
B.
存在一条定直线与所有的圆均相交
C.
存在一条定直线与所有的圆均不相交
D.
所有的圆均不经过原点

2007 · 江西 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★★☆
如图，正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的棱长为 11，过点 AA 作平面 A1BDA_{1}BD 的垂线，垂足为点 HH. 有下列四个命题：
① 点 HH 是 △A1BD\triangle A_{1}BD 的垂心； ② AH⊥AH \perp 平面 CB1D1CB_{1}D_{1}； ③ 二面角 C−B1D1−C1C - B_{1}D_{1} - C_{1} 的正切值为 2\sqrt{2}； ④ 点 HH 到平面 A1B1C1D1A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的距离为 34\frac{3}{4}.
其中真命题的代号是______.（写出所有真命题的代号）
\begin{answer} A、B、C \end{answer}
\begin{solution} 建立空间直角坐标系，取 A1(0,0,0)A_1(0,0,0)，B1(1,0,0)B_1(1,0,0)，C1(1,1,0)C_1(1,1,0)，D1(0,1,0)D_1(0,1,0) 并令 A(0,0,1)A(0,0,1)，B(1,0,1)B(1,0,1)，C(1,1,1)C(1,1,1)，D(0,1,1)D(0,1,1). 平面 A1BDA_1BD 的方程为 z=x+yz=x+y，其一个法向量为 (−1,−1,1)(-1,-1,1). 从点 AA 向该平面作垂线，垂足为
H=A−1(−1)2+(−1)2+12(−1,−1,1)=(13,13,23)H=A-\frac{1}{(-1)^2+(-1)^2+1^2}(-1,-1,1)=\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)
先验证命题 A. 三角形 A1BDA_1BD 的三条边方向向量可取 BD→=(−1,1,0)\overrightarrow{BD}=(-1,1,0)、A1D→=(0,1,1)\overrightarrow{A_1D}=(0,1,1) 和 A1B→=(1,0,1)\overrightarrow{A_1B}=(1,0,1). 有 A1H→=(13,13,23)\overrightarrow{A_1H}=\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)，BH→=(−23,13,−13)\overrightarrow{BH}=\left(-\frac{2}{3},\frac{1}{3},-\frac{1}{3}\right)，DH→=(13,−23,−13)\overrightarrow{DH}=\left(\frac{1}{3},-\frac{2}{3},-\frac{1}{3}\right). 于是 A1H→⋅BD→=0\overrightarrow{A_1H}\cdot\overrightarrow{BD}=0，BH→⋅A1D→=0\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{A_1D}=0，DH→⋅A1B→=0\overrightarrow{DH}\cdot\overrightarrow{A_1B}=0. 故 HH 同时在三条高上，是 △A1BD\triangle A_1BD 的垂心，命题 A 正确.
再验证命题 B. 平面 CB1D1CB_1D_1 内的两个不共线方向向量可取 B1D1→=(−1,1,0)\overrightarrow{B_1D_1}=(-1,1,0) 和 B1C→=(0,1,1)\overrightarrow{B_1C}=(0,1,1)，其法向量可取 (1,1,−1)(1,1,-1). 而
AH→=(13,13,−13)\overrightarrow{AH}=\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},-\frac{1}{3}\right)
与该法向量平行，所以 AH⊥AH\perp 平面 CB1D1CB_1D_1，命题 B 正确.
验证命题 C. 二面角 C−B1D1−C1C-B_1D_1-C_1 是平面 CB1D1CB_1D_1 与平面 C1B1D1C_1B_1D_1 所成的角. 两个平面的法向量可分别取 n1=(1,1,−1)\boldsymbol{n}_1=(1,1,-1) 和 n2=(0,0,1)\boldsymbol{n}_2=(0,0,1). 设二面角的锐角为 φ\varphi，则
cos⁡φ=∣n1⋅n2∣∣n1∣∣n2∣=13\cos\varphi=\frac{|\boldsymbol{n}_1\cdot\boldsymbol{n}_2|}{|\boldsymbol{n}_1||\boldsymbol{n}_2|}=\frac{1}{\sqrt{3}}
从而
tan⁡φ=1−cos⁡2φcos⁡φ=2313=2\tan\varphi=\frac{\sqrt{1-\cos^2\varphi}}{\cos\varphi}=\frac{\sqrt{\frac{2}{3}}}{\frac{1}{\sqrt{3}}}=\sqrt{2}
故命题 C 正确.
最后，平面 A1B1C1D1A_1B_1C_1D_1 的方程为 z=0z=0，所以点 HH 到该平面的距离为
23≠34\frac{2}{3}\ne\frac{3}{4}
所以命题 D 错误，前三个命题为真，结论与填空处一致. \end{solution}

2007 · 江西 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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15立体几何初步★★★★☆
如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，底面为直角三角形，∠ACB=90∘\angle ACB = 90^{\circ}，AC=6AC = 6，BC=CC1=2BC = CC_{1} = \sqrt{2}，PP 是 BC1BC_{1} 上一动点，则 CP+PA1CP + PA_{1} 的最小值为______.

2006 · 江西 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16解析几何★★★★☆
已知圆 M:(x+cos⁡θ)2+(y−sin⁡θ)2=1M: (x + \cos \theta)^2 + (y - \sin \theta)^2 = 1，直线 l:y=kxl: y = kx，下面四个命题：
① 对任意实数 kk 和 θ\theta，直线 ll 和圆 MM 相切； ② 对任意实数 kk 和 θ\theta，直线 ll 和圆 MM 有公共点； ③ 对任意实数 θ\theta，必存在实数 kk，使得直线 ll 和圆 MM 相切； ④ 对任意实数 kk，必存在实数 θ\theta，使得直线 ll 和圆 MM 相切.
其中真命题的代号是______（写出所有真命题的代号）.

2006 · 江西 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16解析几何★★★★☆
已知 F1F_{1}，F2F_{2} 为双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1（a>0a > 0，b>0b > 0 且 a≠ba \neq b）的两个焦点. PP 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，点 OO 为坐标原点. 下面四个命题：
① △PF1F2\triangle PF_{1}F_{2} 的内切圆的圆心必在直线 x=ax = a 上； ② △PF1F2\triangle PF_{1}F_{2} 的内切圆的圆心必在直线 x=bx = b 上； ③ △PF1F2\triangle PF_{1}F_{2} 的内切圆的圆心必在直线 OPOP 上； ④ △PF1F2\triangle PF_{1}F_{2} 的内切圆必通过点 (a,0)(a, 0).
其中真命题的代号是______. （写出所有真命题的代号）

2006 · 江西 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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14不等式★★★★☆
设实数 xx，yy 满足
{x−y−2⩽0,x+2y−4>0,2y−3⩽0\begin{cases} x-y-2\leqslant 0,\\ x+2y-4>0,\\ 2y-3\leqslant 0 \end{cases}
，则 yx\frac{y}{x} 的最大值是______.

2005 · 江西 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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14不等式★★★★☆
设实数 xx，yy 满足
{x−y−2⩽0,x+2y−4>0,2y−3⩽0\begin{cases} x-y-2\leqslant0,\\ x+2y-4>0,\\ 2y-3\leqslant0 \end{cases}
， 则 yx\dfrac yx 的最大值是______.

2005 · 江西 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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