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09
不等式
★★★★☆
已知
a
a
a
，
b
∈
R
b\in\mathbf{R}
b
∈
R
且
a
b
≠
0
ab\neq0
ab
=
0
，若
(
x
−
a
)
(
x
−
b
)
(
x
−
2
a
−
b
)
≥
0
(x-a)(x-b)(x-2a-b)\ge0
(
x
−
a
)
(
x
−
b
)
(
x
−
2
a
−
b
)
≥
0
在
x
≥
0
x\ge0
x
≥
0
上恒成立，则（ ）
A.
a
<
0
a<0
a
<
0
B.
a
>
0
a>0
a
>
0
C.
b
<
0
b<0
b
<
0
D.
b
>
0
b>0
b
>
0
2020 · 浙江 · 第 9 题 · 选择题
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17
平面向量
★★★★☆
设
e
1
\boldsymbol{e}_1
e
1
，
e
2
\boldsymbol{e}_2
e
2
为单位向量，满足
∣
2
e
1
−
e
2
∣
≤
2
|2\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2|\le\sqrt2
∣2
e
1
−
e
2
∣
≤
2
，
a
=
e
1
+
e
2
\boldsymbol{a}=\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2
a
=
e
1
+
e
2
，
b
=
3
e
1
+
e
2
\boldsymbol{b}=3\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2
b
=
3
e
1
+
e
2
，设
a
\boldsymbol{a}
a
，
b
\boldsymbol{b}
b
的夹角为
θ
\theta
θ
，则
cos
2
θ
\cos^2\theta
cos
2
θ
的最小值为______.
2020 · 浙江 · 第 17 题 · 填空题
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19
立体几何初步
★★★★☆
如图，三棱台
D
E
F
−
A
B
C
DEF-ABC
D
E
F
−
A
B
C
中，面
A
D
F
C
⊥
ADFC\perp
A
D
F
C
⊥
面
A
B
C
ABC
A
B
C
，
∠
A
C
B
=
∠
A
C
D
=
45
∘
\angle ACB=\angle ACD=45^\circ
∠
A
C
B
=
∠
A
C
D
=
4
5
∘
，
D
C
=
2
B
C
DC=2BC
D
C
=
2
B
C
.
(1) 证明：
E
F
⊥
D
B
EF\perp DB
E
F
⊥
D
B
； (2) 求
D
F
DF
D
F
与面
D
B
C
DBC
D
B
C
所成角的正弦值.
2020 · 浙江 · 第 19 题 · 解答题
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20
数列
★★★★☆
已知数列
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
，
{
b
n
}
\{b_n\}
{
b
n
}
，
{
c
n
}
\{c_n\}
{
c
n
}
中，
a
1
=
b
1
=
c
1
=
1
a_1=b_1=c_1=1
a
1
=
b
1
=
c
1
=
1
，
c
n
+
1
=
a
n
+
1
−
a
n
c_{n+1}=a_{n+1}-a_n
c
n
+
1
=
a
n
+
1
−
a
n
，
c
n
+
1
=
b
n
b
n
+
2
c
n
c_{n+1}=\dfrac{b_n}{b_{n+2}}\,c_n
c
n
+
1
=
b
n
+
2
b
n
c
n
（
n
∈
N
∗
n\in\mathbf{N}^*
n
∈
N
∗
）.
(1) 若数列
{
b
n
}
\{b_n\}
{
b
n
}
为等比数列，且公比
q
>
0
q>0
q
>
0
，且
b
1
+
b
2
=
6
b
3
b_1+b_2=6b_3
b
1
+
b
2
=
6
b
3
，求
q
q
q
与
a
n
a_n
a
n
的通项公式； (2) 若数列
{
b
n
}
\{b_n\}
{
b
n
}
为等差数列，且公差
d
>
0
d>0
d
>
0
，证明：
c
1
+
c
2
+
⋯
+
c
n
<
1
+
1
d
c_1+c_2+\cdots+c_n<1+\dfrac1d
c
1
+
c
2
+
⋯
+
c
n
<
1
+
d
1
，
n
∈
N
∗
n\in\mathbf{N}^*
n
∈
N
∗
.
2020 · 浙江 · 第 20 题 · 解答题
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