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145分数列★★★★☆
设实数 qq 满足：存在数列 {an}\{a_n\}，使得对于任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，均有 a1+a2+⋯+a3n=n2+na_1+a_2+\cdots+a_{3n}=n^2+n，且 {an}\{a_n\} 中有某连续 99 项 aka_k，ak+1a_{k+1}，⋯\cdots，ak+8a_{k+8} 是公比为 qq 的等比数列，则 qq 的最大值为______．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 14 题 · 填空题

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145分概率与统计★★★★☆
甲，乙两人各有四张卡片，甲为 {1,3,5,7}\{1,3,5,7\}，乙为 {2,4,6,8}\{2,4,6,8\}. 每轮各出一张牌比较大小，先大者得 11 分，先小者得 00 分，弃置该轮牌. 四轮后甲总得分不少于 22 的概率是______.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 14 题 · 填空题

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165分解析几何★★★★☆
已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0） 的左，右焦点分别为 F1F_1，F2F_2. 点 AA 在 CC 上，点 BB 在 yy 轴上，F1A⊥F1BF_1A\perp F_1B，F2A→=−23F2B→\overrightarrow{F_2A}=-\frac23\overrightarrow{F_2B}，则 CC 的离心率为______.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 16 题 · 填空题

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155分导数及其应用★★★★☆
若曲线 y=(x+a)exy=(x+a)\mathrm{e}^x 有两条过坐标原点的切线，则 aa 的取值范围是______.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 15 题 · 填空题

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165分解析几何★★★★☆
已知椭圆 C: x2a2+y2b2=1C:\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0），CC 的上顶点为 AA，两个焦点为 F1F_1，F2F_2，离心率为 12\frac12. 过 F1F_1 且垂直于 AF2AF_2 的直线与 CC 交于 DD，EE 两点，∣DE∣=6|DE|=6，则 △ADE\triangle ADE 的周长是______.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 16 题 · 填空题

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165分数列★★★★☆
某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为 20 dm×12 dm20\text{ dm}\times 12\text{ dm} 的长方形纸，对折 11 次共可以得到 10 dm×12 dm10\text{ dm}\times 12\text{ dm}，20 dm×6 dm20\text{ dm}\times 6\text{ dm} 两种规格的图形，它们的面积之和 S1=240 dm2S_1=240\text{ dm}^2；对折 22 次共可以得到 5 dm×12 dm5\text{ dm}\times 12\text{ dm}，10 dm×6 dm10\text{ dm}\times 6\text{ dm}，20 dm×3 dm20\text{ dm}\times 3\text{ dm} 三种规格的图形，它们的面积之和 S2=180 dm2S_2=180\text{ dm}^2. 以此类推.
(1) 对折 44 次共可以得到不同规格图形的种数为______； (2) 如果对折 nn 次，那么 ∑k=1nSk=‾ dm2\sum_{k=1}^n S_k=\underline{\hspace{2em}}\text{ dm}^2.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 16 题 · 填空题

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16三角函数★★★★☆
如图，在三棱锥 P−ABCP-ABC 的平面展开图中，AC=1AC=1，AB=AD=3AB=AD=\sqrt{3}，AB⊥ACAB\perp AC，AB⊥ADAB\perp AD，∠CAE=30∘\angle CAE=30^\circ，则 cos⁡∠FCB=‾\cos \angle FCB=\underline{\hspace{2em}}.
\begin{answer} −14-\dfrac{1}{4} \end{answer}

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16数列★★★★☆
数列 {an}\{a_n\} 满足 an+2+(−1)nan=3n−1a_{n+2}+(-1)^n a_n=3n-1，前 1616 项和为 540540，则 a1=‾a_1=\underline{\hspace{2em}}.

2020 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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16解析几何★★★★☆
已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的左、右焦点分别为 F1F_1，F2F_2. 过 F1F_1 的直线与 CC 的两条渐近线分别交于 AA，BB 两点，若 F1A→=AB→\overrightarrow{F_1A}=\overrightarrow{AB}，F1B→⋅F2B→=0\overrightarrow{F_1B}\cdot\overrightarrow{F_2B}=0，则 CC 的离心率为______.
\begin{answer} 2 \end{answer}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★★☆
已知 ∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ，PP 为平面 ABCABC 外一点，PC=2PC=2，点 PP 到 ∠ACB\angle ACB 两边 ACAC，BCBC 的距离均为 3\sqrt3，那么 PP 到平面 ABCABC 的距离为______.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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16三角函数★★★★☆
已知函数 f(x)=2sin⁡x+sin⁡2xf(x)=2\sin x+\sin2x，则 f(x)f(x) 的最小值是______.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★★☆
已知函数
f(x)={x3,x⩽ax2,x>a,f(x) = \begin{cases} x^3, & x \leqslant a\\ x^2, & x > a, \end{cases}
若存在实数 bb，使函数 g(x)=f(x)−bg(x) = f(x) - b 有两个零点，则 aa 的取值范围是______.

2015 · 湖南 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15三角函数★★★★☆
已知 ω>0\omega > 0，在函数 y=2sin⁡ωxy = 2\sin \omega x 与 y=2cos⁡ωxy = 2\cos \omega x 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为 232\sqrt{3}，则 ω=\omega =______.

2015 · 湖南 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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15数列★★★★☆
设 SnS_{n} 为数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和，Sn=(−1)nan−12nS_{n} = (-1)^{n}a_{n} - \frac{1}{2^{n}}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，则
(1) a3=‾a_{3} =\underline{\hspace{2em}}； (2) S1+S2+⋯+S100=‾S_{1} + S_{2} + \dots + S_{100} =\underline{\hspace{2em}}.

2013 · 湖南 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15数列★★★★☆
对于 E={a1,a2,⋯ ,a100}E = \{a_1, a_2, \cdots, a_{100}\} 的子集 X={ai1,ai2,⋯ ,aik}X = \{a_{i_1}, a_{i_2}, \cdots, a_{i_k}\}，定义 XX 的“特征数列”为 x1x_1，x2x_2，⋯\cdots，x100x_{100}，其中 xi1=xi2=⋯=xik=1x_{i_1} = x_{i_2} = \cdots = x_{i_k} = 1，其余项均为 00，例如：子集 {a2,a3}\{a_2, a_3\} 的“特征数列”为 00，11，11，00，00，⋯\cdots，00.
(1) 子集 {a1,a3,a5}\{a_{1}, a_{3}, a_{5}\} 的“特征数列”的前 3 项和等于______. (2) 若 EE 的子集 PP 的“特征数列” p1p_{1}，p2p_{2}，⋯\cdots，p100p_{100} 满足 p1=1p_{1}=1，pi+pi+1=1p_{i}+p_{i+1}=1，1⩽i⩽991\leqslant i\leqslant99；EE 的子集 QQ 的“特征数列” q1q_{1}，q2q_{2}，⋯\cdots，q100q_{100} 满足 q1=1q_{1}=1，qj+qj+1+qj+2=1q_{j}+q_{j+1}+q_{j+2}=1，1⩽j⩽981\leqslant j\leqslant98，则 P∩QP\cap Q 的元素个数为______.

2013 · 湖南 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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11计数原理与组合数学★★★★☆
某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，试验范围定为 29∘C∼63∘C29^{\circ} \mathrm{C} \sim 63^{\circ} \mathrm{C}，精确度要求 ±1∘C\pm 1^{\circ} \mathrm{C}. 用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要的最少试验次数为______.

2012 · 湖南 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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16计数原理与组合数学★★★★☆
对于 n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，将 nn 表示为 n=a0×2k+a1×2k−1+a2×2k−2+⋯+ak−1×21+ak×20n = a_0 \times 2^k + a_1 \times 2^{k-1} + a_2 \times 2^{k-2} + \cdots + a_{k-1} \times 2^1 + a_k \times 2^0. 当 i=0i = 0 时，ai=1a_i = 1，当 1⩽i⩽k1 \leqslant i \leqslant k 时，aia_i 为 0 或 1. 记 I(n)I(n) 为上述表示中 aia_i 为 0 的个数 （例如： 1=1×201 = 1 \times 2^0，4=1×22+0×21+0×204 = 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 0 \times 2^0，则 I(1)=0I(1) = 0，I(4)=2I(4) = 2），则
(1) I(12)=I(12) =______； (2) ∑n=11272I(n)=\displaystyle\sum_{n=1}^{127} 2^{I(n)}=______.

2011 · 湖南 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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10数列★★★★☆
已知某试验范围为 [10,90][10,90]，若用分数法进行 44 次优选试验，则第二次试点可以是______.

2011 · 湖南 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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15解析几何★★★★☆
已知圆 C:x2+y2=12C: x^{2} + y^{2} = 12，直线 l:4x+3y=25l: 4x + 3y = 25.
(1) 圆 CC 的圆心到直线 ll 的距离为______； (2) 圆 CC 上任意一点 AA 到直线 ll 的距离小于 2 的概率为______.

2011 · 湖南 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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15数列★★★★☆
若数列 {an}\{a_n\} 满足：对任意的 n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，只有有限个正整数 mm 使得 am<na_m < n 成立. 记这样的 mm 的个数为 (an)∗(a_n)^*，则得到一个新数列 {(an)∗}\{(a_n)^*\}. 例如，若数列 {an}\{a_n\} 是 11，22，33，⋯\cdots，nn，⋯\cdots，则数列 {(an)∗}\{(a_n)^*\} 是 00，11，22，⋯\cdots，n−1n - 1，⋯\cdots. 已知对任意的 n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，an=n2a_n = n^2，则 (a5)∗=‾(a_5)^* =\underline{\hspace{2em}}，((an)∗)∗=‾((a_n)^*)^* =\underline{\hspace{2em}}.

2010 · 湖南 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15数列★★★★☆
将正 △ABC\triangle ABC 分割成 n2n^2（n⩾2n \geqslant 2，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）个全等的小正三角形（图1，图2分别给出了 n=2n = 2，33 的情形）. 在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于 △ABC\triangle ABC 的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于33时）都分别依次成等差数列. 若顶点 AA，BB，CC 处的三个数互不相同且和为 11，记所有顶点上的数的和为 f(n)f(n)，则有 f(2)=2f(2) = 2，f(3)=‾f(3) =\underline{\hspace{2em}}，⋯\cdots，f(n)=‾f(n) =\underline{\hspace{2em}}.

2009 · 湖南 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15概率与统计★★★★☆
对有 nn（n⩾4n \geqslant 4）个元素的总体 {1,2,3,⋯ ,n}\{1, 2, 3, \cdots, n\} 进行抽样. 先将总体分成两个子总体 {1,2,⋯ ,m}\{1, 2, \cdots, m\} 和 {m+1,m+2,⋯ ,n}\{m + 1, m + 2, \cdots, n\}（mm 是给定的正整数，且 2⩽m⩽n−22 \leqslant m \leqslant n - 2）. 再从每个子总体中各随机抽取 22 个元素组成样本，用 PijP_{ij} 表示元素 ii 和 jj 同时出现在样本中的概率，则 P1n=‾P_{1n} =\underline{\hspace{2em}}；所有 PijP_{ij}（1⩽i<j⩽n1 \leqslant i < j \leqslant n）的和等于______.

2008 · 湖南 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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14集合与逻辑基础★★★★☆
设集合 A={(x,y)∣y⩾12∣x−2∣}A = \left\{(x, y) \mid y \geqslant \frac{1}{2} |x - 2|\right\}，B={(x,y)∣y⩽−∣x∣+b}B = \{(x, y) \mid y \leqslant -|x| + b\}，A∩B≠∅A \cap B \neq \emptyset.
(1) bb 的取值范围是______； (2) 若 (x,y)∈A∩B(x, y) \in A \cap B，且 x+2yx + 2y 的最大值为 99，则 bb 的值是______.

2007 · 湖南 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15计数原理与组合数学★★★★☆
将杨辉三角中的奇数换成 11，偶数换成 00，得到如图所示的 00-11 三角数表. 从上往下数，第 11 次全行的数都为 11 的是第 11 行，第 22 次全行的数都为 11 的是第 33 行，…，第 nn 次全行的数都为 11 的是第______ 行；第 6161 行中 11 的个数是______.
| 第 11 行 | 11 | 11 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | 第 22 行 | 11 | 00 | 11 | | 第 33 行 | 11 | 11 | 11 | 11 | | 第 44 行 | 11 | 00 | 00 | 00 | 11 | | 第 55 行 | 11 | 11 | 00 | 00 | 11 | 11 |

2007 · 湖南 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15三角函数★★★★☆
设函数 f(x)f(x) 的图象与直线 x=ax = a，x=bx = b 及 xx 轴所围成图形的面积称为函数 f(x)f(x) 在 [a,b][a, b] 上的面积. 已知函数 y=sin⁡nxy = \sin nx 在 [0,πn]\left[0, \frac{\pi}{n}\right] 上的面积为 2n\frac{2}{n}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）.
(1) y=sin⁡3xy = \sin 3x 在 [0,2π3]\left[0, \frac{2\pi}{3}\right] 上的面积为______； (2) y=sin⁡(3x−π)+1y = \sin (3x - \pi) + 1 在 [π3,4π3]\left[\frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}\right] 上的面积为______.
\begin{answer} 43\frac{4}{3}，π+23\pi + \frac{2}{3} \end{answer}
\begin{solution} 第一问中令 t=3xt=3x，则 tt 从 00 变到 2π2\pi，故所求面积为
13(∫0πsin⁡t dt+∫π2π(−sin⁡t) dt)=13(2+2)=43\frac13\left(\int_0^\pi\sin t\,\mathrm dt+\int_\pi^{2\pi}(-\sin t)\,\mathrm dt\right)=\frac13(2+2)=\frac43
第二问中令 t=3x−πt=3x-\pi，则 tt 从 00 变到 3π3\pi. 因为 sin⁡t+1⩾0\sin t+1\geqslant0，所求面积就是曲线与 xx 轴之间的积分：
13∫03π(sin⁡t+1) dt=13(2+3π)=π+23\frac13\int_0^{3\pi}(\sin t+1)\,\mathrm dt=\frac13(2+3\pi)=\pi+\frac23
\end{solution}

2005 · 湖南 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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