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075分三角函数★★★★☆
当 x∈[0,2π]x\in[0,2\pi] 时，曲线 y=sin⁡xy=\sin x 与 y=2sin⁡ ⁣(3x−π6)y=2\sin\!\left(3x-\frac{\pi}{6}\right) 的交点个数为（ ）
A.
3
B.
4
C.
6
D.
8

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 7 题 · 选择题

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085分数列★★★★☆
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，且 f(x)>f(x−1)+f(x−2)f(x)>f(x-1)+f(x-2)， 当 x<3x<3 时 f(x)=xf(x)=x. 则下列结论中一定正确的是（ ）
A.
f(10)>100f(10)>100
B.
f(20)>1000f(20)>1000
C.
f(10)<1000f(10)<1000
D.
f(20)<10000f(20)<10000

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 8 题 · 选择题

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075分导数及其应用★★★★☆
设 a=0.1e0.1a=0.1\mathrm{e}^{0.1}，b=0.11−0.1b=\frac{0.1}{1-0.1}，c=−ln⁡0.9c=-\ln 0.9，则（ ）
A.
a<b<ca<b<c
B.
c<b<ac<b<a
C.
c<a<bc<a<b
D.
a<c<ba<c<b

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 7 题 · 选择题

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085分立体几何初步★★★★☆
已知正四棱锥的侧棱长为 ll，其各顶点都在同一球面上. 若该球的体积为 36π36\pi，且 3≤l≤333\le l\le 3\sqrt3，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A.
[18,814]\left[18,\frac{81}{4}\right]
B.
[274,814]\left[\frac{27}{4},\frac{81}{4}\right]
C.
[274,643]\left[\frac{27}{4},\frac{64}{3}\right]
D.
[18,27][18,27]

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 8 题 · 选择题

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075分导数及其应用★★★★☆
若过点 (a,b)(a,b) 可以作曲线 y=exy=\mathrm{e}^x 的两条切线，则（ ）
A.
eb<a\mathrm{e}^b<a
B.
ea<b\mathrm{e}^a<b
C.
0<a<eb0<a<\mathrm{e}^b
D.
0<b<ea0<b<\mathrm{e}^a

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 7 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★★☆
若 2a+log⁡2a=4b+2log⁡4b2^a+\log_2 a=4^b+2\log_4 b，则（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
a>2ba>2b
B.
a<2ba<2b
C.
a>b2a>b^2
D.
a<b2a<b^2

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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12立体几何初步★★★★☆
已知三棱锥 P−ABCP-ABC 的四个顶点在球 OO 的球面上，PA=PB=PCPA=PB=PC，△ABC\triangle ABC 是边长为 22 的正三角形，EE，FF 分别是 PAPA，ABAB 的中点，∠CEF=90∘\angle CEF=90^\circ，则球 OO 的体积为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
A.
86π8\sqrt6\pi
B.
46π4\sqrt6\pi
C.
26π2\sqrt6\pi
D.
6π\sqrt6\pi

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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12解析几何★★★★☆
已知椭圆 CC 的焦点为 F1(−1,0)F_1(-1,0)，F2(1,0)F_2(1,0)，过 F2F_2 的直线与 CC 交于 AA，BB 两点. 若 ∣AF2∣=2∣F2B∣|AF_2|=2|F_2B|，∣AB∣=∣BF1∣|AB|=|BF_1|，则 CC 的方程为（ ）
A.
x22+y2=1\dfrac{x^2}{2}+y^2=1
B.
x23+y22=1\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{y^2}{2}=1
C.
x24+y23=1\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1
D.
x25+y24=1\dfrac{x^2}{5}+\dfrac{y^2}{4}=1

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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11解析几何★★★★☆
已知双曲线 C:x23−y2=1C:\frac{x^2}{3}-y^2=1，OO 为坐标原点，FF 为 CC 的右焦点，过 FF 的直线与 CC 的两条渐近线的交点分别为 MM，NN. 若 △OMN\triangle OMN 为直角三角形，则 ∣MN∣=\lvert MN\rvert=（ ）
A.
32\frac32
B.
33
C.
232\sqrt3
D.
44

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12立体几何初步★★★★☆
已知正方体的棱长为 11，每条棱所在直线与平面 α\alpha 所成的角都相等，则 α\alpha 截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）
A.
334\frac{3\sqrt3}{4}
B.
233\frac{2\sqrt3}{3}
C.
324\frac{3\sqrt2}{4}
D.
32\frac{\sqrt3}{2}

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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10导数及其应用★★★★☆
若定义在 R\mathbf{R} 上的函数 f(x)f(x) 满足 f(0)=−1f(0) = -1，其导函数 f′(x)f'(x) 满足 f′(x)>k>1f'(x) > k > 1，则下列结论中一定错误的是（ ）
A.
f(1k)<1kf\left(\frac{1}{k}\right) < \frac{1}{k}
B.
f(1k)>1k−1f\left(\frac{1}{k}\right) > \frac{1}{k - 1}
C.
f(1k−1)<1k−1f\left(\frac{1}{k - 1}\right) < \frac{1}{k - 1}
D.
f(1k−1)>kk−1f\left(\frac{1}{k - 1}\right) > \frac{k}{k - 1}

2015 · 福建 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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10不等式★★★★☆
变量 xx，yy 满足约束条件
{x+y⩾0,x−2y+2⩾0,mx−y⩽0\begin{cases} x + y \geqslant 0,\\ x - 2y + 2 \geqslant 0,\\ mx - y \leqslant 0 \end{cases}
，若 z=2x−yz = 2x - y 的最大值为 2，则实数 mm 等于（ ）
A.
−2-2
B.
−1-1
C.
1
D.
2

2015 · 福建 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11解析几何★★★★☆
已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0） 的右焦点为 FF，短轴的一个端点为 MM，直线 l:3x−4y=0l: 3x - 4y = 0 交椭圆 EE 于 AA，BB 两点. 若 ∣AF∣+∣BF∣=4|AF| + |BF| = 4，点 MM 到直线 ll 的距离不小于 45\frac{4}{5}，则椭圆 EE 的离心率的取值范围是（ ）
A.
(0,32]\left(0, \frac{\sqrt{3}}{2}\right]
B.
(0,34]\left(0, \frac{3}{4}\right]
C.
[32,1)\left[\frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right)
D.
[34,1)\left[\frac{3}{4}, 1\right)

2015 · 福建 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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12集合与逻辑基础★★★★☆
“对任意 x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)，ksin⁡xcos⁡x<x2k \sin x \cos x < x^2”是“k<1k < 1”的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

2015 · 福建 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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09解析几何★★★★☆
设 PP，QQ 分别为圆 x2+(y−6)2=2x^{2} + (y - 6)^{2} = 2 和椭圆 x210+y2=1\frac{x^2}{10} + y^2 = 1 上的点，则 PP，QQ 两点间的最大距离是（ ）
A.
525\sqrt{2}
B.
46+2\sqrt{46} + \sqrt{2}
C.
7+27 + \sqrt{2}
D.
626\sqrt{2}

2014 · 福建 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★★☆
在平面直角坐标系中，两点 P1(x1,y1)P_{1}(x_{1}, y_{1})，P2(x2,y2)P_{2}(x_{2}, y_{2}) 间的 “L\mathrm{L}-距离” 定义为 ∥P1P2∥=∣x1−x2∣+∣y1−y2∣\|P_1P_2\| = |x_1 - x_2| + |y_1 - y_2|，则平面内与 xx 轴上两个不同的定点 F1F_{1}，F2F_{2} 的 “L\mathrm{L}-距离” 之和等于定值（大于 ∥F1F2∥\|F_1F_2\|）的点的轨迹可以是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 在 xx 轴上取两定点的中点为原点，设 F1=(−c,0)F_1=(-c,0)、F2=(c,0)F_2=(c,0)，其中 c>0c>0. 设动点为 P=(x,y)P=(x,y)，两点的“L\mathrm{L}-距离”之和为 SS，则 S=∣x+c∣+∣y∣+∣x−c∣+∣y∣=∣x+c∣+∣x−c∣+2∣y∣S=|x+c|+|y|+|x-c|+|y|=|x+c|+|x-c|+2|y|. 题设给出 S>2cS>2c. 当 ∣x∣⩽c|x|\leqslant c 时，S=2c+2∣y∣S=2c+2|y|，所以 ∣y∣=S−2c2|y|=\frac{S-2c}{2}，得到上下两条水平线段；当 ∣x∣⩾c|x|\geqslant c 时，S=2∣x∣+2∣y∣S=2|x|+2|y|，所以 ∣x∣+∣y∣=S2|x|+|y|=\frac{S}{2}，得到连接这些线段端点与左右端点的四条斜线段. 因此轨迹是左右尖、上下平的中心对称六边形，与图 A 相符. 因此选 A. \end{solution}
A.
B.
C.
D.

2014 · 福建 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★★☆
函数 f(x)f(x) 在 [a,b][a,b] 上有定义，若对任意 x1x_{1}，x2∈[a,b]x_{2} \in [a,b]，有 f(x1+x22)⩽12[f(x1)+f(x2)]f\left(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}\right) \leqslant \frac{1}{2}[f(x_{1}) + f(x_{2})]，则称 f(x)f(x) 在 [a,b][a,b] 上具有性质 PP. 设 f(x)f(x) 在 [1,3][1,3] 上具有性质 PP，现给出如下命题：
① f(x)f(x) 在 [1,3][1,3] 上的图象是连续不断的； ② f(x2)f(x^{2}) 在 [1,3][1,\sqrt{3}] 上具有性质 PP； ③ 若 f(x)f(x) 在 x=2x = 2 处取得最大值 11，则 f(x)=1f(x) = 1，x∈[1,3]x \in [1,3]； ④ 对任意 x1x_{1}，x2x_{2}，x3x_{3}，x4∈[1,3]x_{4} \in [1,3]，有 f(x1+x2+x3+x44)⩽14[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)]f\left(\frac{x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}}{4}\right) \leqslant \frac{1}{4}[f(x_{1}) + f(x_{2}) + f(x_{3}) + f(x_{4})].
其中真命题的序号是（ ）
A.
\circled1\circled2\circled{1}\circled{2}
B.
\circled1\circled3\circled{1}\circled{3}
C.
\circled2\circled4\circled{2}\circled{4}
D.
\circled3\circled4\circled{3}\circled{4}

2012 · 福建 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★★☆
已知 f(x)=x3−6x2+9x−abcf(x)=x^{3}-6x^{2}+9x-abc，a<b<ca<b<c，且 f(a)=f(b)=f(c)=0f(a)=f(b)=f(c)=0. 现给出如下结论：
① f(0)f(1)>0f(0)f(1)>0； ② f(0)f(1)<0f(0)f(1)<0； ③ f(0)f(3)>0f(0)f(3)>0； ④ f(0)f(3)<0f(0)f(3)<0.
其中正确结论的序号是（ ）
A.
①③
B.
①④
C.
②③
D.
②④

2012 · 福建 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=ex+xf(x)=\mathrm{e}^{x}+x. 对于曲线 y=f(x)y=f(x) 上横坐标成等差数列的三个点 AA，BB，CC，给出以下判断：
① △ABC\triangle ABC 一定是钝角三角形； ② △ABC\triangle ABC 可能是直角三角形； ③ △ABC\triangle ABC 可能是等腰三角形； ④ △ABC\triangle ABC 不可能是等腰三角形.
其中，正确的判断是（ ）
A.
①③
B.
①④
C.
②③
D.
②④

2011 · 福建 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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07解析几何★★★★☆
若点 OO 和点 F(−2,0)F(-2,0) 分别为双曲线 x2a2−y2=1\frac{x^2}{a^2} - y^2 = 1 （a>0a > 0）的中心和左焦点，点 PP 为双曲线右支上的任意一点，则 OP→⋅FP→\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{FP} 的取值范围为（ ）
A.
[3−23,+∞)\left[3 - 2\sqrt{3}, +\infty\right)
B.
[3+23,+∞)\left[3 + 2\sqrt{3}, + \infty\right)
C.
[−74,+∞)\left[-\frac{7}{4}, +\infty\right)
D.
[74,+∞)\left[\frac{7}{4}, +\infty\right)

2010 · 福建 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08不等式★★★★☆
设不等式组
{x⩾1,x−2y+3⩾0,y⩾x\begin{cases} x \geqslant 1,\\ x - 2y + 3 \geqslant 0,\\ y \geqslant x \end{cases}
所表示的平面区域是 Ω1\Omega_1，平面区域 Ω2\Omega_2 与 Ω1\Omega_1 关于直线 3x−4y−9=03x - 4y - 9 = 0 对称. 对于 Ω1\Omega_1 中的任意点 AA 与 Ω2\Omega_2 中的任意点 BB，∣AB∣|AB| 的最小值等于（ ）
A.
285\frac{28}{5}
B.
4
C.
125\frac{12}{5}
D.
2

2010 · 福建 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★★☆
对于具有相同定义域 DD 的函数 f(x)f(x) 和 g(x)g(x)，若存在函数 h(x)=kx+bh(x) = kx + b （kk，bb 为常数），对任给的正数 mm，存在相应的 x0∈Dx_0 \in D，使得当 x∈Dx \in D 且 x>x0x > x_0 时，总有
{0<f(x)−h(x)<m,0<h(x)−g(x)<m,\begin{cases} 0 < f(x) - h(x) < m,\\ 0 < h(x) - g(x) < m, \end{cases}
则称直线 l:y=kx+bl: y = kx + b 为曲线 y=f(x)y = f(x) 与 y=g(x)y = g(x) 的“分渐近线”. 给出定义域均为 D={x∣x>1}D = \{x \mid x > 1\} 的四组函数如下：
① f(x)=x2f(x)=x^{2}，g(x)=xg(x) = \sqrt{x}； ② f(x)=10−x+2f(x) = 10^{-x} + 2，g(x)=2x−3xg(x) = \frac{2x - 3}{x}； ③ f(x)=x2+1x2f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2}，g(x)=xln⁡x+1ln⁡xg(x) = \frac{x\ln x + 1}{\ln x}； ④ f(x)=2x2x+1f(x) = \frac{2x^2}{x + 1}，g(x)=2(x−1−e−x)g(x) = 2(x - 1 - \mathrm{e}^{-x}).
其中，曲线 y=f(x)y = f(x) 与 y=g(x)y = g(x) 存在“分渐近线”的是（ ）
A.
①④
B.
②③
C.
②④
D.
③④

2010 · 福建 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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12集合与逻辑基础★★★★☆
设非空集合 S={x∣m⩽x⩽l}S = \{x \mid m \leqslant x \leqslant l\} 满足：当 x∈Sx \in S 时，有 x2∈Sx^2 \in S. 给出如下三个命题：
① 若 m=1m = 1，则 S={1}S = \{1\}； ② 若 m=−12m = -\frac{1}{2}，则 14⩽l⩽1\frac{1}{4} \leqslant l \leqslant 1； ③ 若 l=12l = \frac{1}{2}，则 −22⩽m⩽0-\frac{\sqrt{2}}{2} \leqslant m \leqslant 0.
其中正确命题的个数是（ ）
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3

2010 · 福建 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★★☆
函数 f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c（a≠0a \neq 0）的图象关于直线 x=−b2ax = -\frac{b}{2a} 对称. 据此可推测，对任意的非零实数 aa，bb，cc，mm，nn，pp，关于 xx 的方程 m[f(x)]2+nf(x)+p=0m[f(x)]^2 + nf(x) + p = 0 的解集都不可能是（ ）
\begin{solution} 二次函数图象关于直线x=−b2ax=-\frac{b}{2a}对称，所以对任意使f(x)f(x)有定义的xx，关于该直线对称的点 x′=−ba−xx'=-\frac{b}{a}-x满足f(x′)=f(x)f(x')=f(x).因此方程 m[f(x)]2+nf(x)+p=0m[f(x)]^2+nf(x)+p=0的解集必须关于同一条竖直直线对称：方程先确定至多两个f(x)f(x)的取值，而每个取值的原像关于抛物线的对称轴成对出现.
集合{1,2}\{1,2\}、{1,4}\{1,4\}分别关于x=32x=\frac{3}{2}、x=52x=\frac{5}{2}对称，集合{1,2,3,4}\{1,2,3,4\}关于x=52x=\frac{5}{2}对称，均不违反这个必要条件.它们确实可以实现. 对于集合{1,2}\{1,2\}，取f(x)=(x−32)2+1f(x)=\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+1，并令关于yy的二次方程为(y−54)(y+1)=0(y-\tfrac{5}{4})(y+1)=0；对于集合{1,4}\{1,4\}，取f(x)=(x−52)2+1f(x)=\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+1，并令关于yy的二次方程为(y−134)(y+1)=0(y-\tfrac{13}{4})(y+1)=0；对于集合{1,2,3,4}\{1,2,3,4\}，取f(x)=(x−52)2f(x)=\left(x-\frac{5}{2}\right)^2，并令关于yy的二次方程为(y−94)(y−14)=0(y-\tfrac{9}{4})(y-\tfrac{1}{4})=0. 前三个例子展开后aa，bb，cc，mm，nn，pp均非零.第一个方程的解集为{1,2}\{1,2\}，第二个方程的解集为{1,4}\{1,4\}，第三个方程的解集为{1,2,3,4}\{1,2,3,4\}.而{1,4,16,64}\{1,4,16,64\}中，若关于同一条竖直直线成对对称，则应有1+64=4+161+64=4+16，但65≠2065\neq20，故该集合不可能是解集.因此不可能的是 D. \end{solution}
A.
{1,2}\{1, 2\}
B.
{1,4}\{1, 4\}
C.
{1,2,3,4}\{1, 2, 3, 4\}
D.
{1,4,16,64}\{1, 4, 16, 64\}

2009 · 福建 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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12解析几何★★★★☆
双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1（a>0a > 0，b>0b > 0）的两个焦点为 F1F_1，F2F_2. 若 PP 为其上一点，且 ∣PF1∣=2∣PF2∣|PF_1| = 2|PF_2|，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 设双曲线半焦距为 cc，则离心率 e=cae=\frac ca，且 c2=a2+b2c^2=a^2+b^2，所以 e>1e>1. 双曲线的定义给出 ∣∣PF1∣−∣PF2∣∣=2a\left||PF_1|-|PF_2|\right|=2a. 设较短的焦半径为 rr，则由题设较长的焦半径为 2r2r，于是 r=2ar=2a，两焦半径分别为 2a2a，4a4a.
由三角形不等式，焦点间距离 2c2c 满足 2a⩽2c⩽6a2a\leqslant2c\leqslant6a，从而 1⩽e⩽31\leqslant e\leqslant3. 结合 b>0b>0 得 e>1e>1，故 1<e⩽31<e\leqslant3. 反过来，当 1<e⩽31<e\leqslant3 时，以两焦点为圆心、2a2a 和 4a4a 为半径的两圆满足交点存在条件 2a⩽2c⩽6a2a\leqslant2c\leqslant6a，交点即为满足题设距离比的双曲线上一点，因此范围确为 (1,3](1,3]，选 B. \end{solution}
A.
(1,3)(1,3)
B.
(1,3](1,3]
C.
(3,+∞)(3, +\infty)
D.
[3,+∞)[3, +\infty)

2008 · 福建 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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