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145分立体几何初步★★★★☆
已知球 OO 的体积为 43π4\sqrt{3}\pi，AA，BB，CC，DD 四点均在球 OO 的球面上，△ABC\triangle ABC 为等边三角形，DA=DB=DC=2DA=DB=DC=\sqrt{2}，则 △ABC\triangle ABC 的面积为______.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 14 题 · 填空题

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145分立体几何初步★★★★☆
一个底面半径为 4cm4\text{cm}，高为 9cm9\text{cm} 的封闭圆柱形容器内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为______cm\text{cm}.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 14 题 · 填空题

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165分解析几何★★★★☆
已知直线 ll 与椭圆 x26+y23=1\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1 在第一象限交于 AA，BB 两点，ll 与 xx 轴，yy 轴分别交于 MM，NN 两点，且 ∣MA∣=∣NB∣|MA|=|NB|，∣MN∣=23|MN|=2\sqrt3，则 ll 的方程为______.

2022 · 全国 · 新高考二卷 · 第 16 题 · 填空题

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165分导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=∣ex−1∣f\left( x \right)=\left| \mathrm{e}^x-1 \right|，x1<0x_1<0，x2>0x_2>0，函数 f(x)f\left( x \right) 的图象在点 A(x1,f(x1))A\left( x_1,f\left( x_1 \right) \right) 和点 B(x2,f(x2))B\left( x_2,f\left( x_2 \right) \right) 处的两条切线互相垂直，且分别交 yy 轴于 MM，NN 两点，则 ∣AM∣∣BN∣\frac{\left| AM \right|}{\left| BN \right|} 取值范围是______.
\begin{answer} (0,1)(0,1) \end{answer}

2021 · 全国 · 新高考二卷 · 第 16 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★★☆
中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一. 印信的形状多为长方体，正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1）. 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体. 半正多面体体现了数学的对称美. 图 2 是一个棱数为 4848 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 11. 则该半正多面体共有______ 个面，其棱长为______

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★★☆
中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一. 印信的形状多为长方体，正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）. 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体. 半正多面体体现了数学的对称美. 图2是一个棱数为 4848 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 11. 则该半正多面体共有______ 个面，其棱长为______.

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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16不等式★★★★☆
对于 c>0c > 0，当非零实数 aa，bb 满足 4a2−2ab+4b2−c=04a^2 - 2ab + 4b^2 - c = 0 且使 ∣2a+b∣|2a + b| 最大时，3a−4b+5c\frac{3}{a} - \frac{4}{b} + \frac{5}{c} 的最小值为______.

2014 · 辽宁 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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15解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的左焦点为 FF，CC 与过原点的直线相交于 AA，BB 两点，连接 AFAF，BFBF，若 ∣AB∣=10|AB| = 10，∣AF∣=6|AF| = 6，cos⁡∠ABF=45\cos \angle ABF = \frac{4}{5}，则椭圆 CC 的离心率 e=e =______.

2013 · 辽宁 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16概率与统计★★★★☆
为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取 55 个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据. 已知样本平均数为 77，样本方差为 44，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为______.

2013 · 辽宁 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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15解析几何★★★★☆
已知 FF 为双曲线 C:x29−y216=1C:\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1 的左焦点，PP，QQ 为 CC 上的点. 若 PQPQ 的长等于虚轴长的 22 倍，点 A(5,0)A(5,0) 在线段 PQPQ 上，则 △PQF\triangle PQF 的周长为______.

2013 · 辽宁 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16概率与统计★★★★☆
为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取 55 个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据. 已知样本平均数为 77，样本方差为 44，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为______.

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16立体几何初步★★★★☆
已知正三棱锥 P−ABCP - ABC，点 PP，AA，BB，CC 都在半径为 3\sqrt{3} 的球面上. 若 PAPA，PBPB，PCPC 两两互相垂直，则球心到截面 ABCABC 的距离为______.

2012 · 辽宁 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★★☆
已知点 PP，AA，BB，CC，DD 是球 OO 表面上的点，PA⊥PA \perp 平面 ABCDABCD，四边形 ABCDABCD 是边长为 232\sqrt{3} 的正方形. 若 PA=26PA = 2\sqrt{6}，则 △OAB\triangle OAB 的面积为______.

2012 · 辽宁 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★★☆
如图，网格纸的小正方形的边长是 11，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为______.

2010 · 辽宁 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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16三角函数★★★★☆
已知 f(x)=sin⁡(ωx+π3)f(x) = \sin \left( \omega x + \frac{\pi}{3} \right)（ω>0\omega > 0），f(π6)=f(π3)f\left(\frac{\pi}{6}\right) = f\left(\frac{\pi}{3}\right)，且 f(x)f(x) 在区间 (π6,π3)\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right) 有最小值，无最大值，则 ω=\omega =______.

2008 · 辽宁 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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14立体几何初步★★★★☆
在体积为 43π4\sqrt{3}\pi 的球的表面上有 AA，BB，CC 三点，AB=1AB = 1，BC=2BC = \sqrt{2}，AA，CC 两点的球面距离为 33π\frac{\sqrt{3}}{3}\pi，则球心到平面 ABCABC 的距离为______.
\begin{solution} 设球的半径为 RR. 由球的体积公式， 43πR3=43π\dfrac{4}{3}\pi R^3=4\sqrt{3}\pi，所以 R3=33R^3=3\sqrt{3}，即 R=3R=\sqrt{3}.
设球心为 OO. 由 ACAC 的球面距离为 33π\dfrac{\sqrt{3}}{3}\pi，得 ∠AOC=(33)π3=π3\angle AOC=\dfrac{(\frac{\sqrt{3}}{3})\pi}{\sqrt{3}}=\dfrac{\pi}{3}. 因而 AC=2Rsin⁡∠AOC2=23sin⁡π6=3AC=2R\sin\dfrac{\angle AOC}{2}=2\sqrt{3}\sin\dfrac{\pi}{6}=\sqrt{3}. 又 AB2+BC2=1+2=3=AC2AB^2+BC^2=1+2=3=AC^2，所以 ∠ABC=π2\angle ABC=\dfrac{\pi}{2}. 直角三角形 ABCABC 的外接圆半径为 AC2=32\dfrac{AC}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
设 HH 为球心 OO 到平面 ABCABC 的垂足. 由于 OA=OB=OCOA=OB=OC，点 HH 是三角形 ABCABC 的外心，所以
OH2+(32)2=R2OH^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=R^2
从而 OH2=3−34=94OH^2=3-\dfrac{3}{4}=\dfrac{9}{4}，故球心到平面 ABCABC 的距离为 OH=32OH=\dfrac{3}{2}. \end{solution}

2008 · 辽宁 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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16计数原理与组合数学★★★★☆
将数字 11，22，33，44，55，66 拼成一列，记第 ii 个数为 aia_i （i=1,2,…,6i = 1, 2, \ldots, 6）. 若 a1≠1a_1 \neq 1，a3≠3a_3 \neq 3，a5≠5a_5 \neq 5，a1<a3<a5a_1 < a_3 < a_5，则不同的排列方法有______种.（用数字作答）

2007 · 辽宁 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★★☆
若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为 α\alpha，则 cos⁡α=\cos \alpha =______.

2006 · 辽宁 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16三角函数★★★★☆
ω\omega 是正实数. 设 Sω={θ∣f(x)=cos⁡[ω(x+θ)] 是奇函数}S_{\omega} = \{\theta \mid f(x) = \cos[\omega(x + \theta)] \text{ 是奇函数}\}，若对每个实数 aa，Sω∩(a,a+1)S_{\omega} \cap (a, a + 1) 的元素不超过 22 个，且有 aa 使 Sω∩(a,a+1)S_{\omega} \cap (a, a + 1) 含 22 个元素，则 ω\omega 的取值范围是______.
\begin{answer} (π,2π]\left(\pi, 2\pi\right] \end{answer}
\begin{solution} 由 f(x)=cos⁡[ω(x+θ)]f(x)=\cos[\omega(x+\theta)] 为奇函数，先令 x=0x=0，得到 cos⁡(ωθ)=0\cos(\omega\theta)=0. 反过来，若 cos⁡(ωθ)=0\cos(\omega\theta)=0，则 cos⁡[ω(−x+θ)]=−cos⁡[ω(x+θ)]\cos[\omega(-x+\theta)]=-\cos[\omega(x+\theta)]， 所以
Sω={π2+kπω∣k∈Z}S_{\omega}=\left\{\frac{\frac{\pi}{2}+k\pi}{\omega}\mid k\in\mathbf{Z}\right\}
相邻两个元素的距离为 d=πωd=\frac{\pi}{\omega}. 任意长度为 11 的开区间中元素不超过两个，当且仅当 2d⩾12d\geqslant1；存在某个这样的开区间含有两个元素，当且仅当 d<1d<1. 因而 12⩽πω<1\frac12\leqslant\frac{\pi}{\omega}<1， 即 π<ω⩽2π\pi<\omega\leqslant2\pi. \end{solution}

2005 · 辽宁 · 第 16 题 · 填空题

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