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085分函数与初等函数★★★★☆
设函数 f(x)=(x+a)ln⁡(x+b)f(x)=(x+a)\ln(x+b)，若 f(x)≥0f(x)\ge 0，则 a2+b2a^2+b^2 的最小值为（ ）
A.
18\frac18
B.
14\frac14
C.
12\frac12
D.
11

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 8 题 · 选择题

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085分函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)f\left( x \right) 的定义域为 R\mathbf{R}，f(x+2)f\left( x+2 \right) 为偶函数，f(2x+1)f\left( 2x+1 \right) 为奇函数，则（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
A.
f(−12)=0f\left( -\frac12 \right)=0
B.
f(−1)=0f\left( -1 \right)=0
C.
f(2)=0f\left( 2 \right)=0
D.
f(4)=0f\left( 4 \right)=0

2021 · 全国 · 新高考二卷 · 第 8 题 · 选择题

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12数列★★★★☆
00-11 周期序列在通信技术中有着重要应用. 若序列 a1a2⋯an⋯a_1a_2\cdots a_n\cdots 满足 ai∈{0,1}a_i\in\{0,1\}（i=1i=1，22，⋯\cdots），且存在正整数 mm，使得 ai+m=aia_{i+m}=a_i（i=1i=1，22，⋯\cdots）成立，则称其为 00-11 周期序列，并称满足 ai+m=aia_{i+m}=a_i（i=1i=1，22，⋯\cdots）的最小正整数 mm 为这个序列的周期. 对于周期为 mm 的 00-11 序列 a1a2⋯an⋯a_1a_2\cdots a_n\cdots，C(k)=1m∑i=1maiai+kC(k)=\dfrac{1}{m}\sum_{i=1}^{m} a_i a_{i+k}（k=1k=1，22，⋯\cdots，m−1m-1）是描述其性质的重要指标，下列周期为 55 的 00-11 序列中，满足 C(k)≤15C(k)\leq \dfrac{1}{5}（k=1k=1，22，33，44）的序列是（ ）
A.
11010⋯11010\cdots
B.
11011⋯11011\cdots
C.
10001⋯10001\cdots
D.
11001⋯11001\cdots

2020 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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12指数函数与对数函数★★★★☆
若 2x−2y<3−x−3−y2^x-2^y<3^{-x}-3^{-y}，则（ ）
A.
ln⁡(y−x+1)>0\ln(y-x+1)>0
B.
ln⁡(y−x+1)<0\ln(y-x+1)<0
C.
ln⁡∣x−y∣>0\ln\lvert x-y\rvert>0
D.
ln⁡∣x−y∣<0\ln\lvert x-y\rvert<0

2020 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★★☆
设函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，满足 f(x+1)=2f(x)f(x+1)=2f(x)，且当 x∈(0,1]x\in(0,1] 时，f(x)=x(x−1)f(x)=x(x-1). 若对任意 x∈(−∞,m]x\in(-\infty,m]，都有 f(x)≥−89f(x)\ge -\dfrac89，则 mm 的取值范围是（ ）
A.
(−∞,94](-\infty,\dfrac94]
B.
(−∞,73](-\infty,\dfrac73]
C.
(−∞,52](-\infty,\dfrac52]
D.
(−∞,83](-\infty,\dfrac83]

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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12解析几何★★★★☆
设 FF 为双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的右焦点，OO 为坐标原点，以 OFOF 为直径的圆与圆 x2+y2=a2x^2+y^2=a^2 交于 PP，QQ 两点. 若 ∣PQ∣=∣OF∣|PQ|=|OF|，则 CC 的离心率为（ ）
A.
2\sqrt2
B.
3\sqrt3
C.
22
D.
5\sqrt5

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★★☆
已知 f(x)f(x) 是定义域为 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) 的奇函数，满足 f(1−x)=f(1+x)f(1-x)=f(1+x). 若 f(1)=2f(1)=2，则 f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(50)=f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(50)=（ ）.
A.
−50-50
B.
00
C.
22
D.
5050

2018 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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12不等式★★★★☆
当 x∈[−2,1]x \in [-2, 1] 时，不等式 ax3−x2+4x+3⩾0ax^3 - x^2 + 4x + 3 \geqslant 0 恒成立，则实数 aa 的取值范围是（ ）
A.
[−5,−3][-5, - 3]
B.
[−6,−98]\left[-6, -\frac{9}{8}\right]
C.
[−6,−2][-6, - 2]
D.
[−4,−3][-4, - 3]

2014 · 辽宁 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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12导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)f(x) 满足 x2f′(x)+2xf(x)=exxx^{2}f'(x) + 2xf(x) = \frac{\mathrm{e}^{x}}{x}，f(2)=e28f(2) = \frac{\mathrm{e}^{2}}{8}，则 x>0x > 0 时，f(x)f(x)（ ）
A.
有极大值，无极小值
B.
有极小值，无极大值
C.
既有极大值又有极小值
D.
既无极大值也无极小值

2013 · 辽宁 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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11解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的左焦点为 FF，CC 与过原点的直线相交于 AA，BB 两点，连接 AFAF，BFBF，若 ∣AB∣=10|AB| = 10，∣BF∣=8|BF| = 8，cos⁡∠ABF=45\cos \angle ABF = \frac{4}{5}，则 CC 的离心率为（ ）
A.
35\frac{3}{5}
B.
57\frac{5}{7}
C.
45\frac{4}{5}
D.
67\frac{6}{7}

2013 · 辽宁 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=x2−2(a+2)x+a2f(x) = x^2 - 2(a + 2)x + a^2，g(x)=−x2+2(a−2)x−a2+8g(x) = -x^2 + 2(a - 2)x - a^2 + 8，设 H1(x)=max⁡{f(x),g(x)}H_1(x) = \max \{f(x), g(x)\}，H2(x)=min⁡{f(x),g(x)}H_2(x) = \min \{f(x), g(x)\}（max⁡{p,q}\max \{p, q\} 表示 pp，qq 中的较大值，min⁡{p,q}\min \{p, q\} 表示 pp，qq 中的较小值）. 记 H1(x)H_1(x) 的最小值为 AA，H2(x)H_2(x) 的最大值为 BB，则 A−B=A - B =（ ）
A.
1616
B.
−16-16
C.
a2−2a−16a^2 - 2a - 16
D.
a2+2a−16a^2 + 2a - 16

2013 · 辽宁 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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11函数与初等函数★★★★☆
设函数 f(x)f(x)（x∈Rx \in \mathbf{R}）满足 f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)，f(x)=f(2−x)f(x) = f(2 - x)，且当 x∈[0,1]x \in [0,1] 时，f(x)=x3f(x) = x^3. 又函数 g(x)=∣xcos⁡(πx)∣g(x) = |x\cos(\pi x)|，则函数 h(x)=g(x)−f(x)h(x) = g(x) - f(x) 在 [−12,32]\left[-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right] 上的零点个数为（ ）
A.
5
B.
6
C.
7
D.
8

2012 · 辽宁 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12导数及其应用★★★★☆
若 x∈[0,+∞)x \in [0, +\infty)，则下列不等式恒成立的是（ ）
A.
ex⩽1+x+x2\mathrm{e}^{x}\leqslant1+x+x^{2}
B.
11+x⩽1−12x+14x2\frac{1}{\sqrt{1 + x}}\leqslant 1 - \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} x^2
C.
cos⁡x⩾1−12x2\cos x \geqslant 1 - \frac{1}{2} x^2
D.
ln⁡(1+x)⩾x−18x2\ln (1 + x) \geqslant x - \frac{1}{8} x^2

2012 · 辽宁 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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12立体几何初步★★★★☆
已知球的直径 SC=4SC = 4，AA，BB 是该球球面上的两点，AB=3AB = \sqrt{3}，∠ASC=∠BSC=30∘\angle ASC = \angle BSC = 30^\circ，则棱锥 S−ABCS - ABC 的体积为（ ）
A.
333\sqrt{3}
B.
232\sqrt{3}
C.
3\sqrt{3}
D.
11

2011 · 辽宁 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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10立体几何初步★★★★☆
已知球的直径 SC=4SC = 4，AA，BB 是该球球面上的两点，AB=2AB = 2，∠ASC=∠BSC=45∘\angle ASC = \angle BSC = 45^\circ，则棱锥 S−ABCS-ABC 的体积为（ ）
A.
33\frac{\sqrt{3}}{3}
B.
233\frac{2\sqrt{3}}{3}
C.
433\frac{4\sqrt{3}}{3}
D.
533\frac{5\sqrt{3}}{3}

2011 · 辽宁 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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12立体几何初步★★★★☆
有四根长都为 2 的直铁条，若再选两根长都为 aa 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则 aa 的取值范围是（ ）
A.
(0,6+2)(0, \sqrt{6} + \sqrt{2})
B.
(1,22)(1, 2\sqrt{2})
C.
(6−2,6+2)(\sqrt{6} -\sqrt{2},\sqrt{6} +\sqrt{2})
D.
(0,22)(0,2\sqrt{2})

2010 · 辽宁 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★★☆
若 x1x_{1} 满足 2x+2x=52x + 2^{x} = 5，x2x_{2} 满足 2x+2log⁡2(x−1)=52x + 2\log_{2}(x - 1) = 5，则 x1+x2=x_{1} + x_{2} =（ ）
A.
52\frac{5}{2}
B.
33
C.
72\frac{7}{2}
D.
44

2009 · 辽宁 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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11立体几何初步★★★★☆
在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，EE，FF 分别为棱 AA1AA_{1}，CC1CC_{1} 的中点，则在空间中与三条直线 A1D1A_{1}D_{1}，EFEF，CDCD 都相交的直线（ ）
A.
不存在
B.
有且只有两条
C.
有且只有三条
D.
有无数条

2008 · 辽宁 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12立体几何初步★★★★☆
在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，EE，FF 分别为棱 AA1AA_{1}，CC1CC_{1} 的中点，则在空间中与三条直线 A1D1A_{1}D_{1}，EFEF，CDCD 都相交的直线（ ）
\begin{solution} 建立坐标系，取 A(0,0,0)A(0,0,0)，B(1,0,0)B(1,0,0)，C(1,1,0)C(1,1,0)，D(0,1,0)D(0,1,0)，A1(0,0,1)A_1(0,0,1)，D1(0,1,1)D_1(0,1,1). 由于 EE、FF 分别是 AA1AA_1、CC1CC_1 的中点， E(0,0,12)E(0,0,\frac{1}{2})、F(1,1,12)F(1,1,\frac{1}{2}). 因而直线 EFEF 的方程为 x=yx=y， z=12\ z=\frac{1}{2}.
任取 t∈Rt\in\mathbb R，取 Xt(0,t,1)∈A1D1X_t(0,t,1)\in A_1D_1 和 Zt(t+1,1,0)∈CDZ_t(t+1,1,0)\in CD. 直线 XtZtX_tZ_t 与平面 z=12z=\frac{1}{2} 的交点为
Yt=Xt+Zt2=(t+12,t+12,12)∈EFY_t=\frac{X_t+Z_t}{2}=\left(\frac{t+1}{2},\frac{t+1}{2},\frac{1}{2}\right)\in EF
所以直线 XtZtX_tZ_t 同时经过 A1D1A_1D_1 上的 XtX_t、CDCD 上的 ZtZ_t 和 EFEF 上的 YtY_t. 不同的 tt 给出不同的直线，故这样的直线有无数条，选 D. \end{solution}
A.
不存在
B.
有且只有两条
C.
有且只有三条
D.
有无数条

2008 · 辽宁 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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12导数及其应用★★★★☆
已知 f(x)f(x) 与 g(x)g(x) 是定义在 R\mathbf{R} 上的连续函数，如果 f(x)f(x) 与 g(x)g(x) 仅当 x=0x = 0 时的函数值为 00，且 f(x)⩾g(x)f(x) \geqslant g(x)，那么下列情形不可能出现的是（ ）
A.
00 是 f(x)f(x) 的极大值，也是 g(x)g(x) 的极大值
B.
00 是 f(x)f(x) 的极小值，也是 g(x)g(x) 的极小值
C.
00 是 f(x)f(x) 的极大值，但不是 g(x)g(x) 的极值
D.
00 是 f(x)f(x) 的极小值，但不是 g(x)g(x) 的极值

2007 · 辽宁 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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12计数原理与组合数学★★★★☆
将数字 11，22，33，44，55，66 排成一列，记第 ii 个数为 aia_i（i=1i=1，22，⋯\cdots，66）. 若 a1≠1a_1\neq1，a3≠3a_3\neq3，a5≠5a_5\neq5，a1<a3<a5a_1<a_3<a_5，则不同的排列方法种数为（ ）
A.
1818
B.
3030
C.
3636
D.
4848

2007 · 辽宁 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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12函数与初等函数★★★★☆
一给定函数 y=f(x)y = f(x) 的图象在下列图中，并且对任意 a1∈(0,1)a_{1} \in (0,1)，由关系式 an+1=f(an)a_{n+1} = f(a_n) 得到的数列 {an}\{a_n\} 满足 an+1>ana_{n+1} > a_n（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*），则该函数的图象是（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 由于 a1a_1 可以是 (0,1)(0,1) 中的任意数，令 a1=xa_1=x，则由 a2>a1a_2>a_1 必须有 f(x)>xf(x)>x（0<x<10<x<1）. 因此函数图象在开区间 0<x<10<x<1 内必须位于直线 y=xy=x 的上方；同时，为了使递推对任意这样的初值继续成立，图象还应把 (0,1)(0,1) 映入自身. 图 A 满足这两个条件：对 0<x<10<x<1，有 x<f(x)<1x<f(x)<1，所以由归纳法可得 0<an<10<a_n<1 且 an+1>ana_{n+1}>a_n. 图 B、C、D 均存在 x∈(0,1)x\in(0,1) 使图象不在直线 y=xy=x 上方，不能满足题设. 故选 A. \end{solution}
A.
B.
C.
D.

2005 · 辽宁 · 第 12 题 · 选择题

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