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145分立体几何初步★★★★☆
已知球 OO 的体积为 43π4\sqrt{3}\pi，AA，BB，CC，DD 四点均在球 OO 的球面上，△ABC\triangle ABC 为等边三角形，DA=DB=DC=2DA=DB=DC=\sqrt{2}，则 △ABC\triangle ABC 的面积为______.

2026 · 全国 · 二卷 · 第 14 题 · 填空题

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145分立体几何初步★★★★☆
一个底面半径为 4cm4\text{cm}，高为 9cm9\text{cm} 的封闭圆柱形容器内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为______cm\text{cm}.

2025 · 全国 · 二卷 · 第 14 题 · 填空题

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165分解析几何★★★★☆
已知直线 ll 与椭圆 x26+y23=1\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1 在第一象限交于 AA，BB 两点，ll 与 xx 轴，yy 轴分别交于 MM，NN 两点，且 ∣MA∣=∣NB∣|MA|=|NB|，∣MN∣=23|MN|=2\sqrt3，则 ll 的方程为______.

2022 · 全国 · 新高考二卷 · 第 16 题 · 填空题

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165分导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=∣ex−1∣f\left( x \right)=\left| \mathrm{e}^x-1 \right|，x1<0x_1<0，x2>0x_2>0，函数 f(x)f\left( x \right) 的图象在点 A(x1,f(x1))A\left( x_1,f\left( x_1 \right) \right) 和点 B(x2,f(x2))B\left( x_2,f\left( x_2 \right) \right) 处的两条切线互相垂直，且分别交 yy 轴于 MM，NN 两点，则 ∣AM∣∣BN∣\frac{\left| AM \right|}{\left| BN \right|} 取值范围是______.
\begin{answer} (0,1)(0,1) \end{answer}

2021 · 全国 · 新高考二卷 · 第 16 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★★☆
中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一. 印信的形状多为长方体，正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1）. 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体. 半正多面体体现了数学的对称美. 图 2 是一个棱数为 4848 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 11. 则该半正多面体共有______ 个面，其棱长为______

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16立体几何初步★★★★☆
中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一. 印信的形状多为长方体，正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）. 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体. 半正多面体体现了数学的对称美. 图2是一个棱数为 4848 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 11. 则该半正多面体共有______ 个面，其棱长为______.

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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13三角函数★★★★☆
在 △ABC\triangle ABC 中，B=120∘B = 120^{\circ}，AB=2AB = \sqrt{2}，AA 的角平分线 AD=3AD = \sqrt{3}，则 AC=AC =______.
\begin{answer} 6\sqrt{6} \end{answer}
\begin{solution} 设 AC=2uAC=\sqrt2u，BC=2vBC=\sqrt2v，其中 uu，v>0v>0. 由 ∠B=120∘\angle B=120^\circ 及余弦定理，
u2=v2+v+1u^2=v^2+v+1
由角平分线长公式
AD2=AB⋅AC(1−BC2(AB+AC)2)AD^2=AB\cdot AC\left(1-\frac{BC^2}{(AB+AC)^2}\right)
得
3=2u(1−v2(u+1)2)3=2u\left(1-\frac{v^2}{(u+1)^2}\right)
利用 v2=u2−v−1v^2=u^2-v-1 化简上式，得 2uv=−u2+2u+32uv=-u^2+2u+3，v=−u2+2u+32u\qquad v=\frac{-u^2+2u+3}{2u}. 将此式代入 u2=v2+v+1u^2=v^2+v+1，并通分化简得
0=−3(u2−3)(u+1)24u20=-\frac{3(u^2-3)(u+1)^2}{4u^2}
由于 u>0u>0，且 u+1≠0u+1\ne0，所以 u2=3u^2=3，从而 u=3u=\sqrt3. 此时由前式得 v=1>0v=1>0，满足三角形条件，故 AC=2u=6AC=\sqrt2u=\sqrt6. \end{solution}

2015 · 重庆 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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15概率与统计★★★★☆
某艺校在一天的 66 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各 11 节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔 11 节艺术课的概率为______.
\begin{answer} 35\frac{3}{5} \end{answer}
\begin{solution} 只考虑文化课和艺术课的类别排列即可. 三节文化课的位置从六个位置中选取，基本事件总数为
C63=20\mathrm C_{6}^{3}=20
设三节文化课之间的三段艺术课数分别为 g1g_{1}，g2g_{2}，并令两端的艺术课数为 g0g_{0}，g3g_{3}. 则 g0+g1+g2+g3=3g_{0}+g_{1}+g_{2}+g_{3}=3，g1g_{1}，g2∈{0,1}g_{2}\in\{0,1\}. 当 (g1,g2)=(0,0)(g_{1},g_{2})=(0,0) 时有 44 种；当恰有一个为 11 时有 3+3=63+3=6 种；当 (g1,g2)=(1,1)(g_{1},g_{2})=(1,1) 时有 22 种. 所以符合条件的排列有 4+6+2=124+6+2=12 种，所求概率为
1220=35\frac{12}{20}=\frac35
\end{solution}

2012 · 重庆 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15指数函数与对数函数★★★★☆
若实数 aa，bb，cc 满足 2a+2b=2a+b2^{a} + 2^{b} = 2^{a + b}，2a+2b+2c=2a+b+c2^{a} + 2^{b} + 2^{c} = 2^{a + b + c}，则 cc 的最大值是______.

2011 · 重庆 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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15函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)f(x) 满足： f(1)=14f(1) = \frac{1}{4}，4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x−y)4f(x)f(y) = f(x + y) + f(x - y) （xx，y∈Ry \in \mathbf{R}），则 f(2010)=f(2010) =______.
\begin{answer} 12\frac{1}{2} \end{answer}
\begin{solution} 令 y=0y=0，原函数方程变为
4f(x)f(0)=f(x)+f(x)=2f(x)4f(x)f(0)=f(x)+f(x)=2f(x)
取 x=1x=1，由 f(1)=14≠0f(1)=\frac14\ne0 得 f(0)=12f(0)=\frac12. 再令 x=0x=0，可得
4f(0)f(y)=f(y)+f(−y)4f(0)f(y)=f(y)+f(-y)
从而 f(−y)=f(y)f(-y)=f(y).
令 y=1y=1，利用 4f(1)=14f(1)=1，得到
f(x+1)+f(x−1)=f(x)f(x+1)+f(x-1)=f(x)
对整数依次取值，结合 f(0)=12f(0)=\frac12、f(1)=14f(1)=\frac14，有
f(2)=f(1)−f(0)=−14f(2)=f(1)-f(0)=-\frac14
f(3)=f(2)−f(1)=−12f(3)=f(2)-f(1)=-\frac12，f(4)=f(3)−f(2)=−14f(4)=f(3)-f(2)=-\frac14 f(5)=f(4)−f(3)=14f(5)=f(4)-f(3)=\frac14，f(6)=f(5)−f(4)=12f(6)=f(5)-f(4)=\frac12. 由递推式可得 f(7)=f(6)−f(5)=14=f(1)f(7)=f(6)-f(5)=\frac14=f(1)，于是令 g(n)=f(n+6)−f(n)g(n)=f(n+6)-f(n)，有 g(0)=0g(0)=0，g(1)=0g(1)=0. 对任意非负整数 nn，递推式分别作用于 n+1n+1 和 n+7n+7 给出 g(n+2)=g(n+1)−g(n)g(n+2)=g(n+1)-g(n)，因此由归纳法知 g(n)=0g(n)=0，即 f(n+6)=f(n)f(n+6)=f(n). 而 2010=6⋅3352010=6\cdot335，所以
f(2010)=f(0)=12f(2010)=f(0)=\frac12
\end{solution}

2010 · 重庆 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15三角函数★★★★☆
如图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线 CC，各段弧所在的圆经过同一点 PP（点 PP 不在 CC 上）且半径相等. 设第 ii 段弧所对的圆心角 αi\alpha_i（i=1i = 1，22，33），则 cos⁡α13cos⁡α2+α33−sin⁡α13sin⁡α2+α33=\cos \frac{\alpha_1}{3} \cos \frac{\alpha_2 + \alpha_3}{3} - \sin \frac{\alpha_1}{3} \sin \frac{\alpha_2 + \alpha_3}{3} =______.

2010 · 重庆 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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15解析几何★★★★☆
已知双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1（a>0a > 0，b>0b > 0）的左，右焦点分别为 F1(−c,0)F_{1}(-c, 0)，F2(c,0)F_{2}(c, 0). 若双曲线上存在一点 PP 使 sin⁡∠PF1F2sin⁡∠PF2F1=ac\frac{\sin \angle PF_{1}F_{2}}{\sin \angle PF_{2}F_{1}} = \frac{a}{c}，则该双曲线的离心率的取值范围为______.
\begin{answer} (1,2+1)(1,\sqrt{2}+1) \end{answer}
\begin{solution} 在三角形 PF1F2PF_1F_2 中，由正弦定理
sin⁡∠PF1F2sin⁡∠PF2F1=PF2PF1=ac=1e<1\frac{\sin\angle PF_1F_2}{\sin\angle PF_2F_1} =\frac{PF_2}{PF_1}=\frac{a}{c}=\frac1e<1
故 PF2<PF1PF_2<PF_1，点 PP 在双曲线的右支，并且双曲线定义给出
PF1−PF2=2aPF_1-PF_2=2a
令 PF1=r1PF_1=r_1，PF2=r2PF_2=r_2，则 r2=r1er_2=\frac{r_1}{e}，从而 r1=2aee−1r_1=\frac{2ae}{e-1}，r2=2ae−1r_2=\frac{2a}{e-1}. 三角形存在的必要条件是 r1+r2>F1F2=2c=2aer_1+r_2>F_1F_2=2c=2ae，于是
2a(e+1)e−1>2ae⟺e2−2e−1<0\frac{2a(e+1)}{e-1}>2ae \quad\Longleftrightarrow\quad e^2-2e-1<0
结合双曲线离心率 e>1e>1，得
1<e<1+21<e<1+\sqrt2
反之，在此范围内，除
r1+r2>2cr_1+r_2>2c
外，还有 r2+2c−r1=2c−2a=2a(e−1)>0r_2+2c-r_1=2c-2a=2a(e-1)>0，r1+2c−r2=2a+2c>0r_1+2c-r_2=2a+2c>0. 所以三边 r1r_1，r2r_2，2c2c 满足三角形不等式，且 r1−r2=2ar_1-r_2=2a，可构成右支上一点 PP，故范围正是
(1,1+2)(1,1+\sqrt2)
\end{solution}

2009 · 重庆 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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15解析几何★★★★☆
已知椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的左，右焦点分别为 F1(−c,0)F_1(-c,0)，F2(c,0)F_2(c,0). 若椭圆上存在一点 PP 使 asin⁡∠PF1F2=csin⁡∠PF2F1\frac{a}{\sin \angle PF_1F_2} = \frac{c}{\sin \angle PF_2F_1}，则该椭圆的离心率的取值范围为______.

2009 · 重庆 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16计数原理与组合数学★★★★☆
某人有 33 种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的 66 个点 AA、BB、CC、A1A_1、B1B_1、C1C_1 上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，
则不同的安装方法共有______ 种. （用数字作答）

2008 · 重庆 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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16解析几何★★★★☆
过双曲线 x2−y2=4x^{2}-y^{2}=4 的右焦点 FF 作倾斜角为 105∘105^{\circ} 的直线，交双曲线于 PP，QQ 两点，则 ∣FP∣⋅∣FQ∣|FP| \cdot |FQ| 的值为______.

2007 · 重庆 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16解析几何★★★★☆
连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是______.（填写所有正确选项的序号）
① 菱形； ② 有33条边相等的四边形； ③ 梯形； ④ 平行四边形； ⑤ 有一组对角相等的四边形.

2005 · 重庆 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16解析几何★★★★☆
已知 A(−12,0)A\left(-\frac{1}{2},0\right)，BB 是圆 F:(x−12)2+y2=4F:\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + y^2 = 4（FF 为圆心）上一动点，线段 ABAB 的垂直平分线交 BFBF 于 PP，则动点 PP 的轨迹方程为______.

2005 · 重庆 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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16解析几何★★★★☆
对任意实数 kk，直线 y=kx+by=kx+b 与椭圆
{x=3+2cos⁡θ,y=1+4sin⁡θ\begin{cases} x=\sqrt{3}+2\cos\theta,\\ y=1+4\sin\theta \end{cases}
（0⩽θ⩽2π0\leqslant\theta\leqslant2\pi）恰有一个公共点，则 bb 取值范围是______.

2004 · 重庆 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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