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145分数列★★★★☆
设实数 qq 满足：存在数列 {an}\{a_n\}，使得对于任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，均有 a1+a2+⋯+a3n=n2+na_1+a_2+\cdots+a_{3n}=n^2+n，且 {an}\{a_n\} 中有某连续 99 项 aka_k，ak+1a_{k+1}，⋯\cdots，ak+8a_{k+8} 是公比为 qq 的等比数列，则 qq 的最大值为______．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 14 题 · 填空题

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145分立体几何初步★★★★☆
已知球 OO 的体积为 43π4\sqrt{3}\pi，AA，BB，CC，DD 四点均在球 OO 的球面上，△ABC\triangle ABC 为等边三角形，DA=DB=DC=2DA=DB=DC=\sqrt{2}，则 △ABC\triangle ABC 的面积为______.

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14平面向量★★★★☆
已知 ∣a∣=a⋅b=1|\boldsymbol{a}|=\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=1，∣b∣>1|\boldsymbol{b}|>1，记 c=λa+μb\boldsymbol{c}=\lambda \boldsymbol{a}+\mu \boldsymbol{b}. 当 a+b−c=0\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}=0 时，λ+μ=‾\lambda+\mu=\underline{\hspace{2em}}；当 ∣a+b−c∣=1|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}|=1 时，λ+μ\lambda+\mu 的取值范围为______.

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15解析几何★★★★☆
在平面内，OO 为坐标原点，抛物线 y2=2xy^2=2x 上有 AA，BB，CC，DD 四个点，AA，BB，CC，DD 的纵坐标分别为 yAy_A，yBy_B，yCy_C，yDy_D，直线 ABAB 与直线 CDCD 交 xx 轴于点 PP，直线 ACAC 交 xx 轴于点 MM，直线 BDBD 交 xx 轴于点 NN，以下说法正确的有______.
① 若 PP 与抛物线焦点重合，则 yAyB=−2y_Ay_B=-2； ② yAyB=yCyDy_Ay_B=y_Cy_D； ③ ∣OM∣∣ON∣=2∣OP∣2|OM||ON|=2|OP|^2； ④ ∣yA−yC∣∣OP∣=∣yB−yD∣∣OM∣\left| y_A-y_C \right||OP|=\left| y_B-y_D \right||OM|； ⑤ S△ACPS△BDP=(∣OM∣∣ON∣)2\frac{S_{\triangle ACP}}{S_{\triangle BDP}}=\left( \frac{|OM|}{|ON|} \right)^2

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12解析几何★★★★☆
在 △ABC\triangle ABC 中，AB=3AB=3，AC=5AC=5，BC=14BC=\sqrt{14}. 已知点 AA，BB，CC 分别为椭圆 44 个顶点和 22 个焦点中的三点，则该椭圆的离心率为______.

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11解析几何★★★★☆
已知椭圆 Γ1:x2a2+y2=1\Gamma_1:\dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1（a>1a>1） 与椭圆 Γ2:x2b2+2+y2b2=1\Gamma_2:\dfrac{x^2}{b^2+2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 相交于 AA，BB，CC，DD 四点，且 Γ1\Gamma_1 和 Γ2\Gamma_2 的四个焦点在同一个圆上，则 b2=‾b^2=\underline{\hspace{2em}}.

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12三角函数★★★★☆
有一个油壶，壶身视为圆柱，壶嘴视为直线且不计容积，壶底直径 6.4 厘米6.4\text{ 厘米}，壶身高 16 厘米16\text{ 厘米}，壶内油液面高 12.1 厘米12.1\text{ 厘米}，壶嘴长 13.4 厘米13.4\text{ 厘米}，与壶身夹角 30∘30^\circ，壶嘴最低点距壶底 3 厘米3\text{ 厘米}. 将壶身向壶嘴方向至少转______ 度\text{ 度}可使油倒出（精确到 0.01∘0.01^\circ）.

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145分立体几何初步★★★★☆
一个底面半径为 4cm4\text{cm}，高为 9cm9\text{cm} 的封闭圆柱形容器内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为______cm\text{cm}.

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14立体几何初步★★★★☆
某科技兴趣小组通过 3D 打印机打印的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中 ABCDEFABCDEF 是一个平行六边形，平面 ARF⊥ARF\perp 平面 ABCABC，平面 TCD⊥TCD\perp 平面 ABCABC，AB⊥BCAB\perp BC，AB∥RS∥EF∥CDAB\parallel RS\parallel EF\parallel CD，AF∥ST∥BC∥EDAF\parallel ST\parallel BC\parallel ED. 若 AB=BC=8AB=BC=8，AF=CD=4AF=CD=4，AR=RF=TC=TD=52AR=RF=TC=TD=\dfrac52，则该多面体的体积为（ ）
A.
60
B.
90
C.
120
D.
150

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15不等式★★★★☆
若 aa，b∈Rb\in\mathbf{R}，对任意 x∈[−2,2]x\in[-2,2]，都有 (2a+b)x2+bx−a−1≤0(2a+b)x^2+bx-a-1\le0，则 2a+b2a+b 的最小值为 ‾\underline{\hspace{2em}}.

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11三角函数★★★★☆
小申同学观察发现，生活中有时候影子可以完全投射在斜面上. 某斜面上有两根长为 11 米且垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为 AA，BB，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光，其中 AA 处杆子的影子在水平面上，长度为 0.40.4 米，BB 处杆子的影子完全在斜面上，长度为 0.450.45 米. 则斜面的坡角 θ=\theta=______（结果精确到 0.01∘0.01^\circ）.

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12平面向量★★★★☆
已知函数 f(x)f(x) 满足：当 x>0x>0 时 f(x)=1f(x)=1，当 x=0x=0 时 f(x)=0f(x)=0，当 x<0x<0 时 f(x)=−1f(x)=-1. a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 分别为平面内三个不同的单位向量. 若 f(a⋅b)+f(b⋅c)+f(c⋅a)=0f(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})+f(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c})+f(\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{a})=0，则 ∣a+b+c∣|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}| 的可取值范围是______.

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09立体几何初步★★★★☆
已知 PP 是一个圆锥的顶点，PAPA 是母线，PA=2PA=2，该圆锥的底面半径是 11. BB，CC 分别在圆锥的底面上，则异面直线 PAPA 与 BCBC 所成角的最小值为______.

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10解析几何★★★★☆
已知双曲线 x2a2−y26−a2=1\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{6-a^2}=1（a>0a>0） 的左，右焦点分别为 F1F_1，F2F_2. 通过 F2F_2 且倾斜角为 π3\dfrac\pi3 的直线与双曲线交于第一象限的点 AA，延长 AF2AF_2 至 BB 使得 AB=AF1AB=AF_1. 若 △BF1F2\triangle BF_1F_2 的面积为 363\sqrt6，则 a=‾a=\underline{\hspace{2em}}.

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11导数及其应用★★★★☆
如图，正方形 ABCDABCD 是一块边长为 44 的工程用料，阴影部分是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线 MNMN 为以 ADAD 为对称轴的抛物线的一部分，且 DM=DN=3DM=DN=3. 工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料 BQPRBQPR，当其面积有最大值时，AQAQ 的长为______.

2025 · 上海 · 春季 · 第 11 题 · 填空题

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12平面向量★★★★☆
在平面中，e1\boldsymbol{e}_1 和 e2\boldsymbol{e}_2 是互相垂直的单位向量，向量 a\boldsymbol{a} 满足 ∣a−4e1∣=2|\boldsymbol{a}-4\boldsymbol{e}_1|=2，向量 b\boldsymbol{b} 满足 ∣b−6e2∣=1|\boldsymbol{b}-6\boldsymbol{e}_2|=1，求 b\boldsymbol{b} 在 a\boldsymbol{a} 方向上的数量投影的最大值______.

2025 · 上海 · 春季 · 第 12 题 · 填空题

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145分概率与统计★★★★☆
甲，乙两人各有四张卡片，甲为 {1,3,5,7}\{1,3,5,7\}，乙为 {2,4,6,8}\{2,4,6,8\}. 每轮各出一张牌比较大小，先大者得 11 分，先小者得 00 分，弃置该轮牌. 四轮后甲总得分不少于 22 的概率是______.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 14 题 · 填空题

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16概率与统计★★★★☆
有 6 个6\text{ 个} 相同的球，分别标有数字 11，22，33，44，55，66，从中不放回地随机抽取 3 次3\text{ 次}，每次取 1 个1\text{ 个} 球. 记 mm 为前两次取出的球上数字的平均值，nn 为取出的三个球上数字的平均值，则 mm 与 nn 差的绝对值不超过 12\dfrac{1}{2} 的概率是______.

2024 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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16导数及其应用★★★★☆
当 x>0x>0 时，曲线 y=x3−3xy=x^3-3x 与曲线 y=−(x−1)2+ay=-(x-1)^2+a 有两个交点，则 aa 的取值范围是______.

2024 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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15数列★★★★☆
设 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 是两个不同的无穷数列，且都不是常数列. 记集合 M={k∣ak=bk, k∈N∗}M=\{k\mid a_k=b_k,\ k\in \mathbf{N}^*\}，给出下列 4 个结论：
① 若 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 均为等差数列，则 MM 中最多有 1 个元素； ② 若 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 均为等比数列，则 MM 中最多有 2 个元素； ③ 若 {an}\{a_n\} 为等差数列，{bn}\{b_n\} 为等比数列，则 MM 中最多有 3 个元素； ④ 若 {an}\{a_n\} 为递增数列，{bn}\{b_n\} 为递减数列，则 MM 中最多有 1 个元素.
其中正确结论的序号是______.

2024 · 北京 · 第 15 题 · 填空题

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10计数原理与组合数学★★★★☆
已知某集合中的元素是不重复的数字组成的三位正整数，若该集合中任意两个数的积均为偶数，则该集合的元素个数的最大值为______.

2024 · 上海 · 第 10 题 · 填空题

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11三角函数★★★★☆
海上有灯塔 OO，AA，BB 和船只 TT，AA 在 OO 的正东方向，BB 在 OO 的正北方向，OA=OBOA=OB，OO，AA，TT，BB 按逆时针排列. 若 ∠ATO=37∘\angle ATO=37^\circ，∠BTO=16.5∘\angle BTO=16.5^\circ，则 ∠BOT=\angle BOT=______（精确到 0.1∘0.1^\circ）.

2024 · 上海 · 第 11 题 · 填空题

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11解析几何★★★★☆
正方形草地 ABCDABCD 边长 1.21.2，EE 到 ABAB，ADAD 距离为 0.20.2，FF 到 BCBC，CDCD 距离为 0.40.4，有个位于正方形草地 ABCDABCD 内的圆形通道经过 EE，FF，且与 ADAD 相切于 ADAD 边上一点，求圆形通道的周长______ .（精确到 0.010.01）

2024 · 上海 · 春季 · 第 11 题 · 填空题

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12集合与逻辑基础★★★★☆
a1=2a_1=2，a2=4a_2=4，a3=8a_3=8，a4=16a_4=16，任意 b1b_1，b2b_2，b3b_3，b4∈Rb_4\in \mathbf{R}，满足 {ai+aj∣1≤i<j≤4}={bi+bj∣1≤i<j≤4}\{a_i+a_j\mid 1\le i<j\le 4\}=\{b_i+b_j\mid 1\le i<j\le 4\}，求有序数列 {b1,b2,b3,b4}\{b_1,b_2,b_3,b_4\} 有______ 对.

2024 · 上海 · 春季 · 第 12 题 · 填空题

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165分解析几何★★★★☆
已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0） 的左，右焦点分别为 F1F_1，F2F_2. 点 AA 在 CC 上，点 BB 在 yy 轴上，F1A⊥F1BF_1A\perp F_1B，F2A→=−23F2B→\overrightarrow{F_2A}=-\frac23\overrightarrow{F_2B}，则 CC 的离心率为______.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 16 题 · 填空题

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