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1817分三角函数★★★★☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，已知 cos⁡A1+sin⁡A=sin⁡2B1+cos⁡2B\frac{\cos A}{1+\sin A}=\frac{\sin 2B}{1+\cos 2B}.
(1) 若 C=2π3C=\frac{2\pi}{3}，求 BB； (2) 求 a2+b2c2\frac{a^2+b^2}{c^2} 的最小值.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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2115分解析几何★★★★☆
已知点 A(2,1)A(2,1) 在双曲线 C: x2a2−y2a2−1=1C:\ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{a^2-1}=1（a>1a>1） 上，直线 ll 交 CC 于 PP，QQ 两点，直线 APAP，AQAQ 的斜率之和为 00.
(1) 求 ll 的斜率； (2) 若 tan⁡∠PAQ=22\tan \angle PAQ=2\sqrt2，求 △PAQ\triangle PAQ 的面积.

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2015分立体几何初步★★★★☆
如图，POPO 是三棱锥 P−ABCP-ABC 的高，PA=PBPA=PB，AB⊥ACAB\perp AC，EE 是 PBPB 的中点.
(1) 证明：OE∥平面 PACOE\parallel\text{平面 }PAC； (2) 若 ∠ABO=∠CBO=30∘\angle ABO=\angle CBO=30^\circ，PO=3PO=3，PA=5PA=5，求二面角 C−AE−BC-AE-B 的正弦值.

2022 · 全国 · 新高考二卷 · 第 20 题 · 解答题

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23不等式★★★★☆
已知 aa，bb，cc 均为正数，且 a2+b2+4c2=3a^2+b^2+4c^2=3，证明：
(1) a+b+2c≤3a+b+2c\le 3； (2) 若 b=2cb=2c，则 1a+1c≥3\frac1a+\frac1c\ge 3.

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x3−xf(x)=x^3-x，g(x)=x2+ag(x)=x^2+a，曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (x1,f(x1))\left(x_1,f(x_1)\right) 处的切线也是曲线 y=g(x)y=g(x) 的切线.
(1) 若 x1=−1x_1=-1，求 aa； (2) 求 aa 的取值范围.

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23不等式★★★★☆
已知 aa，bb，cc 均为正数，且 a2+b2+4c2=3a^2+b^2+4c^2=3，证明：
(1) a+b+2c≤3a+b+2c\le3； (2) 若 b=2cb=2c，则 1a+1c≥3\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}\ge3.

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18立体几何初步★★★★☆
如图，四面体 ABCDABCD 中，AD⊥CDAD\perp CD，AD=CDAD=CD，∠ADB=∠BDC\angle ADB=\angle BDC，EE 为 ACAC 的中点.
(1) 证明：平面 BED⊥平面 ACD\text{平面 }BED\perp \text{平面 }ACD； (2) 设 AB=BD=2AB=BD=2，∠ACB=60∘\angle ACB=60^\circ，点 FF 在 BDBD 上. 当 △AFC\triangle AFC 面积最小时，求 CFCF 与平面 ABDABD 所成的角的正弦值.

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20解析几何★★★★☆
已知椭圆 EE 的中心为坐标原点，对称轴为 xx 轴，yy 轴，且过 A(0,−2)A(0,-2)，B(32,−1)B\left( \frac{3}{2},-1 \right) 两点.
(1) 求 EE 的方程； (2) 设过点 P(1,−2)P(1,-2) 的直线交 EE 于 MM，NN 两点，过 MM 且平行于 xx 轴的直线与线段 ABAB 交于点 TT，点 HH 满足 MT=THMT=TH. 证明：直线 HNHN 过定点.

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ax−1x−(a+1)ln⁡xf(x)=ax-\dfrac{1}{x}-(a+1)\ln x，x>0x>0.
(1) 当 a=0a=0 时，求 f(x)f(x) 的最大值； (2) 若 f(x)f(x) 恰有一个零点，求 aa 的取值范围.

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21解析几何★★★★☆
已知椭圆 EE 的中心为坐标原点，对称轴为 xx 轴，yy 轴，且过 A(0,−2)A(0,-2)，B(32,−1)B\left(\dfrac32,-1\right) 两点.
(1) 求 EE 的方程； (2) 设过点 P(1,−2)P(1,-2) 的直线交 EE 于 MM，NN 两点，过 MM 且平行于 xx 轴的直线与线段 ABAB 交于点 TT，点 HH 满足 MT=THMT=TH. 证明：直线 HNHN 过定点.

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19解析几何★★★★☆
已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的一个顶点为 A(0,1)A(0,1)，焦距为 232\sqrt3.
(1) 求椭圆 EE 的方程； (2) 过点 P(−2,1)P(-2,1) 作斜率为 kk 的直线与椭圆 EE 交于不同的两点 BB，CC，直线 ABAB，ACAC 分别与 xx 轴交于点 MM，NN. 当 ∣MN∣=2|MN|=2 时，求 kk 的值.

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18数列★★★★☆
设 {an}\{a_n\} 为等差数列，{bn}\{b_n\} 为等比数列，且 a1=b1=a2−b2=a3−b3=1a_1=b_1=a_2-b_2=a_3-b_3=1.
(1) 求 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 记 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，求证：(Sn+1+an+1)bn=Sn+1bn+1−Snbn\left(S_{n+1}+a_{n+1}\right)b_n=S_{n+1}b_{n+1}-S_nb_n； (3) 求 ∑k=12n[ak+1−(−1)kak]bk\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}\left[a_{k+1}-(-1)^ka_k\right]b_k.

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19解析几何★★★★☆
椭圆 x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的右焦点为 FF，右顶点为 AA，上顶点为 BB，且满足 ∣BF∣∣AB∣=32\dfrac{|BF|}{|AB|}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
(1) 求椭圆的离心率 ee； (2) 直线 ll 与椭圆有唯一公共点 MM，与 yy 轴相交于 NN（NN 异于 MM）. 记 OO 为坐标原点，若 ∣OM∣=∣ON∣|OM|=|ON|，且 △OMN\triangle OMN 的面积为 3\sqrt{3}，求椭圆的标准方程.

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18指数函数与对数函数★★★★☆
设 aa 为常数，f(x)=log⁡3(a+x)+log⁡3(6−x)f(x)=\log_3(a+x)+\log_3(6-x).
(1) 若将函数 y=f(x)y=f(x) 的图像向下平移 mm（m>0m>0）个单位后，其图像经过 (3,0)(3,0)，(5,0)(5,0) 两点，求实数 aa 和 mm 的值； (2) 若 a>−3a>-3 且 a≠0a\ne0，解不等式 f(x)≤f(6−x)f(x)\le f(6-x).

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19解析几何★★★★☆
如图，AD=BC=6AD=BC=6，AB=20AB=20，∠DAB=∠ABC=120∘\angle DAB=\angle ABC=120^\circ，OO 为 ABAB 中点，曲线 CDCD 上任意一点到点 OO 的距离均相等，PP，MM，QQ 为曲线 CDCD 上的点，且 MO⊥ABMO\perp AB，点 PP 与点 QQ 关于直线 OMOM 对称.
(1) 若点 PP 与点 CC 重合，求 ∠POB\angle POB 的大小； (2) 点 PP 在何位置时，五边形 CPMQDCPMQD 的面积 SS 取到最大值，并求出该最大值.

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18数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\}，a2=1a_2=1，{an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n.
(1) 若 {an}\{a_n\} 为等比数列，S2=3S_2=3，求 lim⁡n→∞Sn\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n； (2) 若 {an}\{a_n\} 为等差数列，公差为 dd，对任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，均满足 S2n≥nS_{2n}\ge n，求 dd 的取值范围.

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19三角函数★★★★☆
如图，矩形 ABCDABCD 区域内，DD 处有一棵古树，为保护古树，以 DD 为圆心，DADA 为半径划定圆 DD 作为保护区域，已知 AB=30 mAB=30\mathrm{~m}，AD=15 mAD=15\mathrm{~m}，点 EE 为 ABAB 上的动点，点 FF 为 CDCD 上的动点，满足 EFEF 与圆 DD 相切.
(1) 若 ∠ADE=20∘\angle ADE=20^\circ，求 EFEF 的长； (2) 当点 EE 在 ABAB 的什么位置时，梯形 FEBCFEBC 的面积有最大值，最大面积为多少？
（长度精确到 0.1 m0.1\mathrm{~m}，面积精确到 0.01 m20.01\mathrm{~m}^2）

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20解析几何★★★★☆
在椭圆 Γ:x2a2+y2=1\Gamma:\dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1 中，直线 l:x=al:x=a 上有两点 CC，DD（CC 点在第一象限），左顶点为 AA，下顶点为 BB，右焦点为 FF.
(1) 若 ∠AFB=π6\angle AFB=\dfrac\pi6，求椭圆 Γ\Gamma 的标准方程； (2) 若点 CC 的纵坐标为 22，点 DD 的纵坐标为 11，则 BCBC 与 ADAD 的交点是否在椭圆上？请说明理由； (3) 已知直线 BCBC 与椭圆 Γ\Gamma 相交于点 PP，直线 ADAD 与椭圆 Γ\Gamma 相交于点 QQ，若 PP 与 QQ 关于原点对称，求 ∣CD∣\lvert CD\rvert 的最小值.

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19立体几何初步★★★★☆
如图，已知 ABCDABCD 和 CDEFCDEF 都是直角梯形，AB∥DCAB\parallel DC，DC∥EFDC\parallel EF，AB=5AB=5，DC=3DC=3，EF=1EF=1，∠BAD=∠CDE=60∘\angle BAD=\angle CDE=60^\circ，二面角 F−DC−BF-DC-B 的平面角为 60∘60^\circ. 设 MM，NN 分别为 AEAE，BCBC 的中点.
(1) 证明：FN⊥ADFN\perp AD； (2) 求直线 BMBM 与平面 ADEADE 所成角的正弦值.

2022 · 浙江 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★☆
已知等差数列 {an}\{a_n\} 的首项 a1=−1a_1=-1，公差 d>1d>1. 记 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）.
(1) 若 S4−2a2a3+6=0S_4-2a_2a_3+6=0，求 SnS_n； (2) 若对于每个 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，存在实数 cnc_n，使 an+cna_n+c_n，an+1+4cna_{n+1}+4c_n，an+2+15cna_{n+2}+15c_n 成等比数列，求 dd 的取值范围.

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