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12立体几何初步★★★★☆
已知三棱锥 P−ABCP-ABC 的四个顶点在球 OO 的球面上，PA=PB=PCPA=PB=PC，△ABC\triangle ABC 是边长为 22 的正三角形，EE，FF 分别是 PAPA，ABAB 的中点，∠CEF=90∘\angle CEF=90^\circ，则球 OO 的体积为（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
A.
86π8\sqrt6\pi
B.
46π4\sqrt6\pi
C.
26π2\sqrt6\pi
D.
6π\sqrt6\pi

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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16解析几何★★★★☆
已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的左、右焦点分别为 F1F_1，F2F_2. 过 F1F_1 的直线与 CC 的两条渐近线分别交于 AA，BB 两点，若 F1A→=AB→\overrightarrow{F_1A}=\overrightarrow{AB}，F1B→⋅F2B→=0\overrightarrow{F_1B}\cdot\overrightarrow{F_2B}=0，则 CC 的离心率为______.
\begin{answer} 2 \end{answer}

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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12解析几何★★★★☆
已知椭圆 CC 的焦点为 F1(−1,0)F_1(-1,0)，F2(1,0)F_2(1,0)，过 F2F_2 的直线与 CC 交于 AA，BB 两点. 若 ∣AF2∣=2∣F2B∣|AF_2|=2|F_2B|，∣AB∣=∣BF1∣|AB|=|BF_1|，则 CC 的方程为（ ）
A.
x22+y2=1\dfrac{x^2}{2}+y^2=1
B.
x23+y22=1\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{y^2}{2}=1
C.
x24+y23=1\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1
D.
x25+y24=1\dfrac{x^2}{5}+\dfrac{y^2}{4}=1

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16立体几何初步★★★★☆
已知 ∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ，PP 为平面 ABCABC 外一点，PC=2PC=2，点 PP 到 ∠ACB\angle ACB 两边 ACAC，BCBC 的距离均为 3\sqrt3，那么 PP 到平面 ABCABC 的距离为______.

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=2sin⁡x−xcos⁡x−xf(x)=2\sin x-x\cos x-x，f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导数.
(1) 证明：f′(x)f'(x) 在区间 (0,π)(0,\pi) 存在唯一零点； (2) 若 x∈[0,π]x\in [0,\pi] 时，f(x)≥axf(x)\ge ax，求 aa 的取值范围.

2019 · 全国 · 一卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
已知点 AA，BB 关于坐标原点 OO 对称，∣AB∣=4|AB|=4，⊙M\odot M 过点 AA，BB 且与直线 x+2=0x+2=0 相切.
(1) 若 AA 在直线 x+y=0x+y=0 上，求 ⊙M\odot M 的半径； (2) 是否存在定点 PP，使得当 AA 运动时，∣MA∣−∣MP∣|MA|-|MP| 为定值？并说明理由.

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22解析几何★★★★☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线 CC 的参数方程为 x=1−t21+t2x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}，y=4t1+t2y=\dfrac{4t}{1+t^2}（tt 为参数），以坐标原点 OO 为极点，xx 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 ll 的极坐标方程为 2ρcos⁡θ+3 ρsin⁡θ+11=02\rho \cos \theta+\sqrt3\,\rho \sin \theta+11=0.
(1) 求 CC 和 ll 的直角坐标方程； (2) 求 CC 上的点到 ll 距离的最小值.

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12函数与初等函数★★★★☆
设函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，满足 f(x+1)=2f(x)f(x+1)=2f(x)，且当 x∈(0,1]x\in(0,1] 时，f(x)=x(x−1)f(x)=x(x-1). 若对任意 x∈(−∞,m]x\in(-\infty,m]，都有 f(x)≥−89f(x)\ge -\dfrac89，则 mm 的取值范围是（ ）
A.
(−∞,94](-\infty,\dfrac94]
B.
(−∞,73](-\infty,\dfrac73]
C.
(−∞,52](-\infty,\dfrac52]
D.
(−∞,83](-\infty,\dfrac83]

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16立体几何初步★★★★☆
中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一. 印信的形状多为长方体，正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1）. 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体. 半正多面体体现了数学的对称美. 图 2 是一个棱数为 4848 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 11. 则该半正多面体共有______ 个面，其棱长为______

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17立体几何初步★★★★☆
如图，长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的底面 ABCDABCD 是正方形，点 EE 在棱 AA1AA_1 上，BE⊥EC1BE\perp EC_1.
(1) 证明：BE⊥平面EB1C1BE\perp \text{平面} EB_1C_1； (2) 若 AE=A1EAE=A_1E，求二面角 B−EC−C1B-EC-C_1 的正弦值.

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=ln⁡x−x+1x−1f(x)=\ln x-\dfrac{x+1}{x-1}.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性，并证明 f(x)f(x) 有且仅有两个零点； (2) 设 x0x_0 是 f(x)f(x) 的一个零点，证明曲线 y=ln⁡xy=\ln x 在点 A(x0,ln⁡x0)A(x_0,\ln x_0) 处的切线也是曲线 y=exy=\mathrm{e}^x 的切线.

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23不等式★★★★☆
已知 f(x)=∣x−a∣x+∣x−2∣(x−a)f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).
(1) 当 a=1a=1 时，求不等式 f(x)<0f(x)<0 的解集； (2) 当 x∈(−∞,1]x\in(-\infty,1] 时，f(x)<0f(x)<0，求 aa 的取值范围.

2019 · 全国 · 二卷 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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12解析几何★★★★☆
设 FF 为双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0）的右焦点，OO 为坐标原点，以 OFOF 为直径的圆与圆 x2+y2=a2x^2+y^2=a^2 交于 PP，QQ 两点. 若 ∣PQ∣=∣OF∣|PQ|=|OF|，则 CC 的离心率为（ ）
A.
2\sqrt2
B.
3\sqrt3
C.
22
D.
5\sqrt5

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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16立体几何初步★★★★☆
中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一. 印信的形状多为长方体，正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）. 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体. 半正多面体体现了数学的对称美. 图2是一个棱数为 4848 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 11. 则该半正多面体共有______ 个面，其棱长为______.

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20解析几何★★★★☆
已知 F1F_1，F2F_2 是椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的两个焦点，PP 为 CC 上的点，OO 为坐标原点.
(1) 若 △POF2\triangle POF_2 为等边三角形，求 CC 的离心率； (2) 如果存在点 PP，使得 PF1⊥PF2PF_1\perp PF_2，且 △F1PF2\triangle F_1PF_2 的面积等于 1616，求 bb 的值和 aa 的取值范围.

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=(x−1)ln⁡x−x−1f(x)=(x-1)\ln x-x-1. 证明：
(1) f(x)f(x) 存在唯一的极值点； (2) f(x)=0f(x)=0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.

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23不等式★★★★☆
已知 f(x)=∣x−a∣x+∣x−2∣(x−a)f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).
(1) 当 a=1a=1 时，求不等式 f(x)<0f(x)<0 的解集； (2) 若 x∈(−∞,1]x\in(-\infty,1] 时，f(x)<0f(x)<0，求 aa 的取值范围.

2019 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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12三角函数★★★★☆
设函数 f(x)=sin⁡ ⁣(ωx+π5)f(x)=\sin\!\left(\omega x+\dfrac{\pi}{5}\right)（ω>0\omega>0），已知 f(x)f(x) 在 [0,2π][0,2\pi] 有且仅有 55 个零点. 下述四个结论：
① f(x)f(x) 在 (0,2π)(0,2\pi) 有且仅有 33 个极大值点； ② f(x)f(x) 在 (0,2π)(0,2\pi) 有且仅有 22 个极小值点； ③ f(x)f(x) 在 (0,π10)\left(0,\dfrac{\pi}{10}\right) 单调递增； ④ ω\omega 的取值范围是 [125,2910)\left[\dfrac{12}{5},\dfrac{29}{10}\right).
其中所有正确结论的编号是（ ）
A.
\circled1\circled4\circled{1}\circled{4}
B.
\circled2\circled3\circled{2}\circled{3}
C.
\circled1\circled2\circled3\circled{1}\circled{2}\circled{3}
D.
\circled1\circled3\circled4\circled{1}\circled{3}\circled{4}

2019 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=2x3−ax2+bf(x)=2x^3-ax^2+b.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 是否存在 aa，bb，使得 f(x)f(x) 在区间 [0,1][0,1] 的最小值为 −1-1 且最大值为 11？若存在，求出 aa，bb 的所有值；若不存在，说明理由.

2019 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
已知曲线 C:y=x22C:y=\dfrac{x^2}{2}，DD 为直线 y=−12y=-\dfrac12 上的动点，过 DD 作 CC 的两条切线，切点分别为 AA，BB.
(1) 证明：直线 ABAB 过定点； (2) 若以 E(0,52)E(0,\dfrac52) 为圆心的圆与直线 ABAB 相切，且切点为线段 ABAB 的中点，求四边形 ADBEADBE 的面积.

2019 · 全国 · 三卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=2x3−ax2+2f(x)=2x^3-ax^2+2.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 当 0<a<30<a<3 时，记 f(x)f(x) 在区间 [0,1][0,1] 的最大值为 MM，最小值为 mm，求 M−mM-m 的取值范围.

2019 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
已知曲线 C:y=x22C:y=\dfrac{x^2}{2}，DD 为直线 y=−12y=-\dfrac12 上的动点，过 DD 作 CC 的两条切线，切点分别为 AA，BB.
(1) 证明：直线 ABAB 过定点； (2) 若以 E(0,52)E\left(0,\dfrac52\right) 为圆心的圆与直线 ABAB 相切，且切点为线段 ABAB 的中点，求该圆的方程.

2019 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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23不等式★★★★☆
设 xx，yy，z∈Rz\in\mathbf{R}，且 x+y+z=1x+y+z=1.
(1) 求 (x−1)2+(y+1)2+(z+1)2(x-1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2 的最小值； (2) 若 (x−2)2+(y−1)2+(z−a)2≥13(x-2)^2+(y-1)^2+(z-a)^2\ge\dfrac13 成立，证明：a≤−3a\le-3 或 a≥−1a\ge-1.

2019 · 全国 · 三卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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08函数与初等函数★★★★☆
数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线 C:x2+y2=1+∣x∣yC:x^2+y^2=1+\left|x\right|y 就是其中之一（如图）. 给出下列三个结论：
① 曲线 CC 恰好经过 66 个整点（即横，纵坐标均为整数的点）； ② 曲线 CC 上任意一点到原点的距离都不超过 2\sqrt2； ③ 曲线 CC 所围成的“心形”区域的面积小于 33.
其中，所有正确结论的序号是（ ）.
A.
①
B.
②
C.
①②
D.
①②③

2019 · 北京 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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18解析几何★★★★☆
已知抛物线 C:x2=−2pyC:x^2=-2py 经过点 (2,−1)(2,-1).
(1) 求抛物线 CC 的方程及其准线方程； (2) 设 OO 为原点，过抛物线 CC 的焦点作斜率不为 00 的直线 ll 交抛物线 CC 于两点 MM，NN，直线 y=−1y=-1 分别交直线 OMOM，ONON 于点 AA 和点 BB，求证：以 ABAB 为直径的圆经过 yy 轴上的两个定点.

2019 · 北京 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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