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07高考真题5分三角函数★★★★☆
当 x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi] 时, 曲线 y=sin⁡xy = \sin x 与 y=2sin⁡(3x−π6)y = 2\sin(3x - \frac{\pi}{6}) 的交点个数为 ( )
A.
3
B.
4
C.
6
D.
8

2024新高考一卷 · 第 7 题 · 选择题

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08高考真题5分导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=(x+a)ln⁡(x+b)f(x) = (x + a) \ln(x + b). 若 f(x)⩾0f(x) \geqslant 0, 则 a2+b2a^2 + b^2 的最小值为 ( )
A.
18\frac{1}{8}
B.
14\frac{1}{4}
C.
12\frac{1}{2}
D.
1

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10高考真题5分三角函数★★★★☆
cos⁡αcos⁡α−sin⁡α=3\dfrac{\cos \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} = \sqrt{3}, 则 tan⁡(α+π4)=\tan (\alpha + \dfrac{\pi}{4}) = （ ）
A.
23+12\sqrt{3} + 1
B.
23−12\sqrt{3} - 1
C.
32\dfrac{\sqrt{3}}{2}
D.
1−31 - \sqrt{3}

2024全国甲卷(文) · 第 10 题 · 选择题

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10高考真题5分导数及其应用★★★★☆
已知 M={(x,y)∣y=x+t(x2−x),1⩽x⩽2,0⩽t⩽1}M = \{(x, y) \mid y = x + t(x^2 - x), 1 \leqslant x \leqslant 2, 0 \leqslant t \leqslant 1\} 是平面直角坐标系中的点集。设 dd 是 MM 中两点间的距离的最大值, SS 是 MM 表示的图形的面积, 则 ()(\quad)
A.
d=3,S<1d = 3, S < 1
B.
d=3,S>1d = 3, S > 1
C.
d=10,S<1d = \sqrt{10}, S < 1
D.
d=10,S>1d = \sqrt{10}, S > 1

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10高考真题6分导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=(x−1)2(x−4)f(x) = (x-1)^2(x-4), 则 ( )
A.
x=3x=3 是 f(x)f(x) 的极小值点
B.
当 0<x<10 < x < 1 时, f(x)<f(x2)f(x) < f(x^2)
C.
当 1<x<21 < x < 2 时, −4<f(2x−1)<0-4 < f(2x-1) < 0
D.
当 −1<x<0-1 < x < 0 时, f(2−x)>f(x)f(2-x) > f(x)

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12高考真题5分三角函数★★★★☆
记 △ABC\triangle ABC 的内角 A,B,CA, B, C 的对边分别为 a,b,ca, b, c, 已知 B=60∘B = 60^\circ, b2=94acb^2 = \dfrac{9}{4}ac, 则 sin⁡A+sin⁡C=\sin A + \sin C = （ ）
A.
32\dfrac{3}{2}
B.
2\sqrt{2}
C.
72\dfrac{\sqrt{7}}{2}
D.
32\dfrac{\sqrt{3}}{2}

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12高考真题5分解析几何★★★★☆
已知 bb 是 a,ca, c 的等差中项, 直线 ax+by+c=0ax + by + c = 0 与圆 x2+y2+4y−1=0x^2 + y^2 + 4y - 1 = 0 交于 A,BA, B 两点, 则 ∣AB∣|AB| 的最小值为 （ ）
A.
11
B.
22
C.
44
D.
252\sqrt{5}

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14高考真题5分计数原理与组合数学★★★★☆
在如图的 4×44 \times 4 的方格表中选 4 个方格, 要求每行和每列均恰有一个方格被选中, 则共有______种选法. 在所有符合上述要求的选法中, 选中方格中的 4 个数之和的最大值是______.
grid

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14高考真题5分概率与统计★★★★☆
甲、乙两人各有四张卡片, 每张卡片上标有一个数字, 甲的卡片上分别标有数字 1, 3, 5, 7, 乙的卡片上分别标有数字 2, 4, 6, 8. 两人进行四轮比赛. 在每轮比赛中, 两人各自从自己持有的卡片中随机选一张, 并比较所选卡片上数字的大小, 数字大的人得 1 分, 数字小的人得 0 分, 然后各自弃置此轮所选的卡片 (弃置的卡片在此后的轮次中不能使用). 则四轮比赛后, 甲的总得分不小于 2 的概率为 ______.

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15高考真题5分数列★★★★☆
设 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 是两个不同的无穷数列, 且都不是常数列。记集合 M={k∣ak=bk;k∈N∗}M = \{k \mid a_k = b_k; k \in \mathbb{N}^*\}, 给出下列四个结论: ① 若 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 均为等差数列, 则 MM 中最多有 11 个元素; ② 若 {an}\{a_n\} 与 {bn}\{b_n\} 均为等比数列, 则 MM 中最多有 22 个元素; ③ 若 {an}\{a_n\} 为等差数列, {bn}\{b_n\} 为等比数列, 则 MM 中最多有 33 个元素; ④ 若 {an}\{a_n\} 为递增数列, {bn}\{b_n\} 为递减数列, 则 MM 中最多有 11 个元素。 其中正确结论的序号是 ______。

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16高考真题5分导数及其应用★★★★☆
当 x>0x > 0 时, 曲线 y=x3−3xy = x^3 - 3x 与曲线 y=−(x−1)2+ay = -(x - 1)^2 + a 有两个交点, 则 aa 的取值范围是______.

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16高考真题5分概率与统计★★★★☆
有 66 个相同的球, 分别标有数字 1,2,3,4,5,61, 2, 3, 4, 5, 6, 从中无放回地随机取 33 次, 每次取 11 个球. 设 mm 为前两次取出的球上数字的平均值, nn 为取出的三个球上数字的平均值, 则 ∣m−n∣⩽12|m - n| \leqslant \dfrac{1}{2} 的概率为______.

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16高考真题15分解析几何★★★★☆
已知 A(0,3)A(0,3) 和 P(3,32)P(3, \frac{3}{2}) 为椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0a > b > 0) 上两点. (1) 求 CC 的离心率; (2) 若过 PP 的直线 ll 交 CC 于另一点 BB, 且 △ABP\triangle ABP 的面积为 9, 求 ll 的方程.

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17高考真题15分立体几何初步★★★★☆
如图, 平面四边形 ABCDABCD 中, AB=8,CD=3,AD=53,∠ADC=90∘,∠BAD=30∘AB = 8, CD = 3, AD = 5\sqrt{3}, \angle ADC = 90^\circ, \angle BAD = 30^\circ, 点 E,FE, F 满足 AE⃗=25AD⃗,AF⃗=12AB⃗\vec{AE} = \frac{2}{5}\vec{AD}, \vec{AF} = \frac{1}{2}\vec{AB}, 将 △AEF\triangle AEF 沿 EFEF 翻折至 △PEF\triangle PEF, 使得 PC=43PC = 4\sqrt{3}.
(1) 证明: EF⊥PDEF \perp PD;
(2) 求面 PCDPCD 与面 PBFPBF 所成的二面角的正弦值.
diagram

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17高考真题15分立体几何初步★★★★☆
如图, 四棱锥 P−ABCDP-ABCD 中, PA⊥PA \perp 底面 ABCDABCD, PA=AC=2PA = AC = 2, BC=1BC = 1, AB=3AB = \sqrt{3}. (1) 若 AD∥PBAD \parallel PB, 证明: AD⊥AD \perp 平面 PBCPBC; (2) 若 AD⊥DCAD \perp DC, 且二面角 A−CP−DA-CP-D 的正弦值为 427\frac{\sqrt{42}}{7}, 求 ADAD.
fig-01

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19高考真题12分立体几何初步★★★★☆
如图, 在以 A,B,C,D,E,FA, B, C, D, E, F 为顶点的五面体中, 四边形 ABCDABCD 与四边形 ADEFADEF 均为等腰梯形, EF∥ADEF \parallel AD, BC∥ADBC \parallel AD, AD=4AD = 4, AB=BC=EF=2AB = BC = EF = 2, ED=10ED = \sqrt{10}, FB=23FB = 2\sqrt{3}, MM 为 ADAD 的中点.
(1) 证明: BM∥BM \parallel 平面 CDECDE;
(2) 求 MM 到平面 FABFAB 的距离.

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19高考真题12分立体几何初步★★★★☆
如图, 在以 A,B,C,D,E,FA, B, C, D, E, F 为顶点的五面体中, 四边形 ABCDABCD 与四边形 ADEFADEF 均为等腰梯形, EF∥ADEF \parallel AD, BC∥ADBC \parallel AD, AD=4AD = 4, AB=BC=EF=2AB = BC = EF = 2, ED=10ED = \sqrt{10}, FB=23FB = 2\sqrt{3}, MM 为 ADAD 的中点. (1) 证明: BM∥BM \parallel 平面 CDECDE; (2) 求二面角 F−BM−EF - BM - E 的正弦值.

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19高考真题17分解析几何★★★★☆
已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1E: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0a > b > 0), 焦点和短轴端点构成边长为 22 的正方形。
(1) 求椭圆 EE 的方程及离心率; (2) 过 (0,t)(0, t) (t>2t > \sqrt{2}) 的直线与椭圆交于 A,BA, B, 直线 ACAC (C(0,1)C(0,1)) 与椭圆交于 DD。若 BDBD 斜率为 00, 求 tt。

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20高考真题12分导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=a(x−1)−ln⁡x+1f(x) = a(x - 1) - \ln x + 1.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性;
(2) 设 a⩽2a \leqslant 2, 证明: 当 x>1x > 1 时, f(x)<ex−1f(x) < e^{x-1}.

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20高考真题12分解析几何★★★★☆
设椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0a > b > 0) 的右焦点为 FF, 点 M(1,32)M(1, \dfrac{3}{2}) 在 CC 上, 且 MF⊥xMF \perp x 轴. (1) 求 CC 的方程; (2) 过点 P(4,0)P(4, 0) 的直线交 CC 于 A,BA, B 两点, NN 为线段 FPFP 的中点, 直线 NBNB 交直线 MFMF 于点 QQ, 证明: AQ⊥yAQ \perp y 轴.

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20高考真题15分导数及其应用★★★★☆
设 f(x)=x+kln⁡(1+x)f(x) = x + k \ln(1 + x) (k≠0k \neq 0), ll 是曲线在 (t,f(t))(t, f(t)) 处的切线。
(1) k=−1k = -1 时, 求单调区间; (2) 证明: ll 不经过点 (0,0)(0, 0); (3) k=1k = 1 时, 2S△ACO=15S△ABO2S_{\triangle ACO} = 15S_{\triangle ABO} 是否成立? 有几个点 AA?

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21高考真题12分解析几何★★★★☆
设椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0a > b > 0) 的右焦点为 FF, 点 M(1,32)M\left(1, \dfrac{3}{2}\right) 在 CC 上, 且 MF⊥xMF \perp x 轴.
(1) 求 CC 的方程;
(2) 过点 P(4,0)P(4, 0) 的直线交 CC 于 A,BA, B 两点, NN 为线段 FPFP 的中点, 直线 NBNB 交直线 MFMF 于点 QQ, 证明: AQ⊥yAQ \perp y 轴.

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23高考真题10分不等式★★★★☆
已知实数 a,ba, b 满足 a+b⩾3a + b \geqslant 3. (1) 证明: 2a2+2b2>a+b2a^2 + 2b^2 > a + b; (2) 证明: ∣a−2b2∣+∣b−2a2∣⩾6|a - 2b^2| + |b - 2a^2| \geqslant 6.

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