已知定点 $A(-1,0)$，$F(2,0)$，定直线 $l: x = \frac{1}{2}$，不在 $x$ 轴上的动点 $P$ 与点 $F$ 的距离是它到直线 $l$ 的距离的 $2$ 倍. 设点 $P$ 的轨迹为 $E$，过点 $F$ 的直线交 $E$ 于 $B$，$C$ 两点，直线 $AB$，$AC$ 分别交 $l$ 于点 $M$，$N$.

(1) 求 $E$ 的方程； (2) 试判断以线段 $MN$ 为直径的圆是否过点 $F$，并说明理由.