设 $f(x) = \frac{1 + a^x}{1 - a^x}$（$a > 0$ 且 $a \ne 1$），$g(x)$ 是 $f(x)$ 的反函数.

(1) 设关于 $x$ 的方程 $\log_{a} \frac{t}{(x^2 - 1)(7 - x)} = g(x)$ 在区间 $[2,6]$ 上有实数解，求 $t$ 的取值范围. (2) 当 $a = \mathrm{e}$（$\mathrm{e}$ 为自然对数的底数）时，证明：$\sum_{k=2}^{n} g(k) > \frac{2 - n - n^2}{\sqrt{2n(n+1)}}$； (3) 当 $0 < a \leqslant \frac{1}{2}$ 时，试比较 $\left| \sum_{k=1}^{n} f(k) - n \right|$ 与 $4$ 的大小，并说明理由.