设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=2$，$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$（$n=1$，$2$，$3$，$\ldots$）.

(1) 证明 $a_n>\sqrt{2n+1}$ 对一切正整数 $n$ 成立； (2) 令 $b_n=\frac{a_n}{\sqrt[n]{n}}$（$n=1$，$2$，$\cdots$），判断 $b_n$ 与 $b_{n+1}$ 的大小，并说明理由.