设函数 $f_{n}(x) = -1 + x + \frac{x^{2}}{2^{2}} + \frac{x^{3}}{3^{2}} + \cdots + \frac{x^{n}}{n^{2}}$ （$x \in \mathbf{R}$，$n \in \mathbf{N}^{*}$）. 证明：

(1) 对每个 $n \in \mathbf{N}^*$，存在唯一的 $x_n \in \left[\frac{2}{3}, 1\right]$，满足 $f_n(x_n) = 0$； (2) 对任意 $p \in \mathbf{N}^*$，由上一问中 $x_n$ 构成的数列 $\{x_n\}$ 满足 $0 < x_n - x_{n+p} < \frac{1}{n}$.