设双曲线 $C$ 的中心为点 $O$，若有且只有一对相交于点 $O$，所成的角为 $60^{\circ}$ 的直线 $A_{1}B_{1}$ 和 $A_{2}B_{2}$，使 $|A_{1}B_{1}| = |A_{2}B_{2}|$，其中 $A_{1}$，$B_{1}$ 和 $A_{2}$，$B_{2}$ 分别是这对直线与双曲线 $C$ 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）

\begin{answer} A \end{answer} \begin{solution} 取坐标轴沿双曲线的实轴、虚轴，则可设 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，$e^2=1+\frac{b^2}{a^2}$. 过原点、方向角为 $\theta$ 的直线上的点可写为 它与双曲线相交的条件为 且弦长为 $2|\rho|$. 两条方向相差 $\frac\pi3$ 的直线弦长相等，当且仅当 整理得 故候选的两对直线分别可取方向角 $\left(-\frac\pi6,\frac\pi6\right)$，$\left(\frac\pi3,\frac{2\pi}3\right)$. 第一对为割线的条件是 第二对为割线的条件是 因此当 $\frac{2\sqrt3}{3}<e\leqslant2$ 时恰有第一对；$e>2$ 时两对均存在，而 $e=\frac{2\sqrt3}{3}$ 或更小时第一对也不是有限割线. 故离心率范围为 选 A. \end{solution}

如图，椭圆的中心为原点 $O$，长轴在 $x$ 轴上，离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$，过左焦点 $F_{1}$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆于 $A$，$A'$ 两点，$|AA'| = 4$.

(1) 求该椭圆的标准方程； (2) 取平行于 $y$ 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 $P$，$P'$，过 $P$，$P'$ 作圆心为 $Q$ 的圆，使椭圆上的其余点均在圆 $Q$ 外，求 $\triangle PP'Q$ 的面积 $S$ 的最大值，并写出对应的圆 $Q$ 的标准方程.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设椭圆的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，（$a>b>0$） 焦距的一半为 $c$，则 $c^2=a^2-b^2$，$e=\frac ca=\frac{\sqrt2}{2}$. 所以 $c^2=\frac{a^2}{2}$，从而 $b^2=\frac{a^2}{2}$. 左焦点为 $(-c,0)$，过它的竖直弦的两个端点纵坐标为 $\pm2$，故代入椭圆方程得 由 $\frac{c^2}{a^2}=\frac{1}{2}$ 得 $\frac{4}{b^2}=\frac{1}{2}$，即 $b^2=8$，进而 $a^2=16$. 因此椭圆的标准方程为 \item 设竖直弦所在直线为 $x=t$，其端点为 $P=(t,y_0)$、$P'=(t,-y_0)$. 由椭圆方程 $y_0^2=8-\frac{t^2}{2}$，$|t|<4$. 圆心 $Q$ 必在弦 $PP'$ 的垂直平分线上，而所有椭圆上其余点在圆外，意味着 $P$，$P'$ 是椭圆上到 $Q$ 的最近点. 故可设 $Q=(q,0)$，并令椭圆点为 $(x,y)$，则其到 $Q$ 的距离平方为 由于最近点的横坐标 $t$ 在区间 $(-4,4)$ 内，二次式在 $x=t$ 处取最小值，故 于是 $|q|<2$，且 三角形 $PP'Q$ 的底为 $2|y_0|$，高为 $|q-t|=|q|$，所以 令 $u=q^2$，则 $0\leqslant u<4$，并且 故 $S$ 的最大值为 $2\sqrt2$，当且仅当 $q^2=2$，即 $q=\pm\sqrt2$ 时取得. 此时圆的半径平方为 因此对应的圆为 \end{enumerate} \end{solution}