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15
函数与初等函数
★★★★★
若函数
f
(
x
)
=
2
x
2
−
a
x
−
∣
a
x
−
2
∣
+
1
f(x)=2\sqrt{x^2-ax}-|ax-2|+1
f
(
x
)
=
2
x
2
−
a
x
−
∣
a
x
−
2∣
+
1
恰有一个零点，则
a
a
a
的取值范围为______.
2024 · 天津 · 第 15 题 · 填空题
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19
数列
★★★★★
已知数列
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
是公比大于 0 的等比数列，其前
n
n
n
项和为
S
n
S_n
S
n
. 若
a
1
=
1
a_1=1
a
1
=
1
，
S
2
=
a
3
−
1
S_2=a_3-1
S
2
=
a
3
−
1
.
(1) 求数列
{
a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
前
n
n
n
项和
S
n
S_n
S
n
； (2) 设
b
n
=
k
b_n=k
b
n
=
k
（
n
=
a
k
n=a_k
n
=
a
k
），
b
n
=
b
n
−
1
+
2
k
b_n=b_{n-1}+2k
b
n
=
b
n
−
1
+
2
k
（
a
k
<
n
<
a
k
+
1
a_k<n<a_{k+1}
a
k
<
n
<
a
k
+
1
），其中
k
∈
N
∗
k\in \mathbb N^*
k
∈
N
∗
.
(i) 当
k
≥
2
k\ge 2
k
≥
2
，
n
=
a
k
+
1
n=a_{k+1}
n
=
a
k
+
1
时，求证：
b
n
−
1
≥
a
k
b
n
b_{n-1}\ge a_k b_n
b
n
−
1
≥
a
k
b
n
； (ii) 求
∑
i
=
1
S
n
b
i
\displaystyle \sum_{i=1}^{S_n}b_i
i
=
1
∑
S
n
b
i
.
2024 · 天津 · 第 19 题 · 解答题
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20
导数及其应用
★★★★★
设函数
f
(
x
)
=
x
ln
x
f(x)=x\ln x
f
(
x
)
=
x
ln
x
.
(1) 求
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
图象上点
(
1
,
f
(
1
)
)
(1,f(1))
(
1
,
f
(
1
))
处的切线方程； (2) 若
f
(
x
)
≥
a
(
x
−
x
)
f(x)\ge a(x-\sqrt{x})
f
(
x
)
≥
a
(
x
−
x
)
在
x
∈
(
0
,
+
∞
)
x\in(0,+\infty)
x
∈
(
0
,
+
∞
)
时恒成立，求
a
a
a
的值； (3) 若
x
1
x_1
x
1
，
x
2
∈
(
0
,
1
)
x_2\in(0,1)
x
2
∈
(
0
,
1
)
，证明
∣
f
(
x
1
)
−
f
(
x
2
)
∣
≤
∣
x
1
−
x
2
∣
1
2
|f(x_1)-f(x_2)|\le |x_1-x_2|^{\frac{1}{2}}
∣
f
(
x
1
)
−
f
(
x
2
)
∣
≤
∣
x
1
−
x
2
∣
2
1
.
2024 · 天津 · 第 20 题 · 解答题
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