设函数 $f(x)=x\ln x$.

(1) 求 $f(x)$ 图象上点 $(1,f(1))$ 处的切线方程； (2) 若 $f(x)\ge a(x-\sqrt{x})$ 在 $x\in(0,+\infty)$ 时恒成立，求 $a$ 的值； (3) 若 $x_1$，$x_2\in(0,1)$，证明 $|f(x_1)-f(x_2)|\le |x_1-x_2|^{\frac{1}{2}}$.