定义向量 $\overrightarrow{OM}=(a,b)$ 的“相伴函数”为 $f(x)=a\sin x+b\cos x$；函数 $f(x)=a\sin x+b\cos x$ 的“相伴向量”为 $\overrightarrow{OM}=(a,b)$（其中 $O$ 为坐标原点）. 记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为 $S$.

(1) 设 $g(x)=3\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)+4\sin x$，求证：$g(x)\in S$； (2) 已知 $h(x)=\cos(x+\alpha)+2\cos x$，且 $h(x)\in S$，求其“相伴向量”的模； (3) 已知 $M(a,b)$（$b\ne0$）为圆 $C:(x-2)^2+y^2=1$ 上一点，向量 $\overrightarrow{OM}$ 的“相伴函数” $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处取到最大值. 当点 $M$ 在圆 $C$ 上运动时，求 $\tan 2x_0$ 的取值范围.