已知函数 $f(x) = x^2 + bx + c$ （$b$，$c \in \mathbf{R}$），对任意的 $x \in \mathbf{R}$，恒有 $f'(x) \leqslant f(x)$.

(1) 证明：当 $x \geqslant 0$ 时，$f(x) \leqslant (x + c)^2$； (2) 若对满足题设条件的任意 $b$，$c$，不等式 $f(c) - f(b) \leqslant M (c^2 - b^2)$ 恒成立，求 $M$ 的最小值.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由题设，$f'(x)=2x+b$，所以对任意 $x\in\mathbf{R}$，有 这是关于 $x$ 的二次函数，故其判别式不大于 $0$，即 整理得 $c\geqslant\frac{b^2}{4}+1$. 当 $x\geqslant0$ 时，由 $c\geqslant1$ 以及 可得 因此 $f(x)\leqslant(x+c)^2$. \item 直接计算得 取 $M=\frac{3}{2}$，则 所以 $M=\frac{3}{2}$ 时不等式对所有满足题设条件的 $b$，$c$ 恒成立.

再取 $b=2$，$c=2+\varepsilon$，其中 $\varepsilon>0$. 此时 $c\geqslant\frac{b^2}{4}+1$，且 $\frac{f(c)-f(b)}{c^2-b^2}=\frac{c+4}{c+2}=\frac{6+\varepsilon}{4+\varepsilon}\longrightarrow\frac{3}{2}$，$\left(\varepsilon\to0^+\right)$. 因此任何小于 $\frac{3}{2}$ 的数都不能使题设不等式恒成立，故 $M$ 的最小值为 $\frac{3}{2}$. \end{enumerate} \end{solution}

数列 $\{a_{n}\}$ （$n\in\mathbf{N}^{*}$） 中， $a_1 = a$，$a_{n + 1}$ 是函数 $f_{n}(x) = \frac{1}{3}x^{3} - \frac{1}{2}(3a_n + n^2)x^2 + 3n^2a_nx$ 的极小值点.

(1) 当 $a = 0$ 时，求通项 $a_{n}$； (2) 是否存在 $a$ 使数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列？若存在，求 $a$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由 可知，当 $3a_n<n^2$ 时，$x=n^2$ 是极小值点；当 $3a_n>n^2$ 时，$x=3a_n$ 是极小值点. 当 $3a_n=n^2$ 时，导函数只有二重根，函数没有极小值点. 因此在数列有定义时， 当 $a=0$ 时，依次有 $a_1=0$，$a_2=1$，$a_3=4$，$a_4=12$. 对 $n\geqslant3$，有 $4\cdot3^{n-2}>n^2$. 事实上，$n=3$ 时不等式成立；若 $n\geqslant3$，则左边每次乘以 $3$，而右边的增长倍数为 $\frac{(n+1)^2}{n^2}\leqslant\frac{16}{9}<3$，所以不等式对所有 $n\geqslant3$ 成立. 于是 $a_{n+1}=3a_n$，从而 $a_n=4\cdot3^{n-3}$，$n\geqslant3$. \item 若 $\{a_n\}$ 是等比数列，则由递推式知 $a_2>0$，$a_3>0$. 若 $a<0$，则 $\frac{a_2}{a_1}<0$，而 $\frac{a_3}{a_2}>0$，不可能等比；若 $a=0$，则第一问中的数列也不等比. 因此 $a>0$.

当 $0<a<\frac{1}{3}$ 时，$a_2=1$，$a_3=4$. 若数列等比，则公比既为 $\frac{a_2}{a_1}=\frac{1}{a}$，又为 $\frac{a_3}{a_2}=4$，所以 $a=\frac{1}{4}$. 但此时 $a_4=\max\{12,9\}=12$，而等比数列应有 $a_4=16$，矛盾. 当 $a=\frac{1}{3}$ 时，$3a_1=1^2$，$f_1'(x)=(x-1)^2$，函数没有极小值点，数列不能按题意定义.

当 $a>\frac{1}{3}$ 时，$a_2=3a$. 若数列等比，则公比为 $3$，从而必须有 $a_3=9a$. 当 $a<\frac{4}{9}$ 时，$a_3=\max\{9a,4\}=4\neq9a$，矛盾；当 $a=\frac{4}{9}$ 时，$3a_2=4=2^2$，此时 $f_2'(x)=(x-4)^2$，没有极小值点，数列不能按题意定义. 所以必要条件为 $a>\frac{4}{9}$.

反之，若 $a>\frac{4}{9}$，则 $a_2=3a$，且 $3a>1$. 又 $9a>4$. 因而 $3^1a>1^2$，$3^2a>2^2$. 对 $n\geqslant2$，若 $3^na>n^2$，则由 $3n^2-(n+1)^2=2n^2-2n-1>0$，得 $3n^2>(n+1)^2$. 又因 $3^{n+1}a>3n^2$，所以 $3^{n+1}a>(n+1)^2$. 由数学归纳法，$3^na>n^2$ 对所有 $n\geqslant1$ 成立，递推式始终取 $a_{n+1}=3a_n$. 所以 $a_n=3^{n-1}a$ 是等比数列.

综上，存在这样的 $a$，其取值范围为 \end{enumerate} \end{solution}