已知函数 $f(x) = x^2 + bx + c$ （$b$，$c \in \mathbf{R}$），对任意的 $x \in \mathbf{R}$，恒有 $f'(x) \leqslant f(x)$.

(1) 证明：当 $x \geqslant 0$ 时，$f(x) \leqslant (x + c)^2$； (2) 若对满足题设条件的任意 $b$，$c$，不等式 $f(c) - f(b) \leqslant M (c^2 - b^2)$ 恒成立，求 $M$ 的最小值.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由题设，$f'(x)=2x+b$，所以对任意 $x\in\mathbf{R}$，有 这是关于 $x$ 的二次函数，故其判别式不大于 $0$，即 整理得 $c\geqslant\frac{b^2}{4}+1$. 当 $x\geqslant0$ 时，由 $c\geqslant1$ 以及 可得 因此 $f(x)\leqslant(x+c)^2$. \item 直接计算得 取 $M=\frac{3}{2}$，则 所以 $M=\frac{3}{2}$ 时不等式对所有满足题设条件的 $b$，$c$ 恒成立.

再取 $b=2$，$c=2+\varepsilon$，其中 $\varepsilon>0$. 此时 $c\geqslant\frac{b^2}{4}+1$，且 $\frac{f(c)-f(b)}{c^2-b^2}=\frac{c+4}{c+2}=\frac{6+\varepsilon}{4+\varepsilon}\longrightarrow\frac{3}{2}$，$\left(\varepsilon\to0^+\right)$. 因此任何小于 $\frac{3}{2}$ 的数都不能使题设不等式恒成立，故 $M$ 的最小值为 $\frac{3}{2}$. \end{enumerate} \end{solution}