对于数列 $\{u_n\}$，若存在常数 $M > 0$，对任意的 $n \in \mathbf{N}^*$，恒有 $|u_{n+1} - u_n| + |u_n - u_{n-1}| + \cdots + |u_2 - u_1| \leqslant M$，则称数列 $\{u_n\}$ 为 $B$-数列.

(1) 首项为 1，公比为 $-\frac{1}{2}$ 的等比数列是否为 $B$-数列？请说明理由； (2) 设 $S_{n}$ 是数列 $\{x_{n}\}$ 的前 $n$ 项和. 给出下列两组论断： A 组：

① 数列 $\{x_n\}$ 是 $B$-数列； ② 数列 $\{x_n\}$ 不是 $B$-数列；

B 组： {

① 数列 $\{S_n\}$ 是 $B$-数列； ② 数列 $\{S_n\}$ 不是 $B$-数列.

} 请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题. 判断所给命题的真假，并证明你的结论； (3) 若数列 $\{a_n\}$ 是 $B$-数列，证明：数列 $\{a_{n}^{2}\}$ 也是 $B$-数列.