在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知椭圆 $C$ 的中心在原点 $O$，焦点在 $x$ 轴上，短轴长为 2，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

(1) 求椭圆 $C$ 的方程； (2) $A$，$B$ 为椭圆 $C$ 上满足 $\triangle AOB$ 的面积为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ 的任意两点，$E$ 为线段 $AB$ 的中点，射线 $OE$ 交椭圆 $C$ 于点 $P$. 设 $\overrightarrow{OP} = t\overrightarrow{OE}$，求实数 $t$ 的值.