设 $a_0$ 为常数，且 $a_n = 3^{n-1} - 2a_{n-1}$（$n \in \mathbf{N}^*$）.

(1) 证明对任意 $n \geqslant 1$，$a_n = \frac{1}{5} \left[3^n + (-1)^{n-1} \cdot 2^n\right] + (-1)^n \cdot 2^n a_0$； (2) 假设对任意 $n \geqslant 1$ 有 $a_n > a_{n-1}$，求 $a_0$ 的取值范围.