已知 $a > 0$，函数 $f(x) = \mathrm{e}^{ax}\sin x$ （$x \in [0, +\infty)$），记 $x_n$ 为 $f(x)$ 的从小到大的第 $n$ （$n \in \mathbf{N}^*$）个极值点. 证明：

(1) 数列 $\left\{f(x_{n})\right\}$ 是等比数列； (2) 若 $a \geqslant \frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}^{2} - 1}}$，则对一切 $n \in \mathbf{N}^*$，$x_n < |f(x_n)|$ 恒成立.