椭圆有两顶点 $A(-1,0)$，$B(1,0)$，过其焦点 $F(0,1)$ 的直线 $l$ 与椭圆交于 $C$，$D$ 两点，并与 $x$ 轴交于点 $P$. 直线 $AC$ 与直线 $BD$ 交于点 $Q$.

(1) 当 $|CD| = \frac{3}{2}\sqrt{2}$ 时，求直线 $l$ 的方程. (2) 当点 $P$ 异于 $A$，$B$ 两点时，求证：$\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ}$ 为定值.