已知双曲线 $\Gamma:x^2-y^2=1$，点 $P$ 在 $\Gamma$ 上，$F_1$，$F_2$ 分别为双曲线的左，右焦点.

(1) 求点 $\left( 2,0 \right)$ 到 $\Gamma$ 渐近线的距离； (2) 若 $\overrightarrow{PF_1}\cdot \overrightarrow{PF_2}=1$，求 $\triangle PF_1F_2$ 的面积； (3) 记 $\Omega$ 为双曲线 $x^2-y^2=1$ 中满足 （$x>0$，$\ y\ge -1$） 或 （$x<0$，$\ y\le -1$） 的部分. 过点 $F_2$ 的直线 $l$ 交 $\Omega$ 于 $P$，$Q$ 两点（分别位于第一，第四象限），过点 $F_2$ 的直线 $m$ 交 $\Omega$ 于 $M$，$N$ 两点（分别位于第三，第四象限）. 是否存在常数 $\lambda$，使得对任意直线 $l$，都存在唯一对应的直线 $m$ 满足 $\lambda \left| PQ \right|=\left| MN \right|$？若存在，求出 $\lambda$ 的值；若不存在，请说明理由.