设 $a > 2$，给定数列 $\{x_n\}$，其中 $x_1 = a$，$x_{n+1} = \frac{x_n^2}{2(x_n - 1)}$（$n = 1$，$2$，$\cdots$）. 求证：

(1) $x_n > 2$，且 $\frac{x_{n + 1}}{x_n} < 1$（$n = 1$，$2$，$\cdots$）； (2) 如果 $a \leqslant 3$，那么 $x_n \leqslant 2 + \frac{1}{2^{n - 1}}$（$n = 1$，$2$，$\cdots$）； (3) 如果 $a > 3$，那么当 $n \geqslant \frac{\lg \frac{a}{3}}{\lg \frac{4}{3}}$ 时，必有 $x_{n + 1} < 3$.