对于定义域为 $\mathbf{R}$ 的函数 $g(x)$. 若存在正常数 $T$，使 $\cos g(x)$ 是以 $T$ 为周期的函数，则称 $g(x)$ 为余弦周期函数，且称 $T$ 为其余周期. 已知 $f(x)$ 是以 $T$ 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为 $\mathbf{R}$. 设 $f(x)$ 单调递增，$f(0) = 0$，$f(T) = 4\pi$.

(1) 验证 $h(x) = x + \sin \frac{x}{3}$ 是以 $6\pi$ 为余弦周期的余弦周期函数； (2) 设 $a < b$，证明对任意 $c \in [f(a), f(b)]$，存在 $x_0 \in [a, b]$，使得 $f(x_0) = c$； (3) 证明：“$u_0$ 为方程 $\cos f(x) = 1$ 在 $[0, T]$ 上的解”的充要条件是“$u_0 + T$ 为方程 $\cos f(x) = 1$ 在 $[T, 2T]$ 上的解”，并证明对任意 $x \in [0, T]$ 都有 $f(x + T) = f(x) + f(T)$.