已知三点 $O(0,0)$，$A(-2,1)$，$B(2,1)$，曲线 $C$ 上任意一点 $M(x,y)$ 满足 $\left|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}\right| = \overrightarrow{OM} \cdot \left(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}\right) + 2$.

(1) 求曲线 $C$ 的方程； (2) 动点 $Q(x_0, y_0)$ （$-2 < x_0 < 2$）在曲线 $C$ 上，曲线 $C$ 在点 $Q$ 处的切线为 $l$. 问：是否存在定点 $P(0, t)$ （$t < 0$），使得 $l$ 与 $PA$，$PB$ 都相交，交点分别为 $D$，$E$，且 $\triangle QAB$ 与 $\triangle PDE$ 的面积之比是常数？若存在，求 $t$ 的值；若不存在，请说明理由.