椭圆的中心是原点 $O$，它的短轴长为 $2\sqrt{2}$. 相应于焦点 $F(c,0)$（$c > 0$）的准线 $l$ 与 $x$ 轴相交于点 $A$，$|OF| = 2|FA|$. 过点 $A$ 的直线与椭圆相交于 $P$，$Q$ 两点.

(1) 求椭圆的方程及离心率； (2) 若 $\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} = 0$，求直线 $PQ$ 的方程； (3) 设 $\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{AQ}$（$\lambda > 1$），过点 $P$ 且平行于准线 $l$ 的直线与椭圆相交于另一点 $M$，证明 $\overrightarrow{FM} = -\lambda \overrightarrow{FQ}$.