设椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ （$a > b > 0$）的左，右焦点分别为 $F_1$，$F_2$，点 $D$ 在椭圆上，$DF_1 \perp F_1F_2$，$\frac{|F_1F_2|}{|DF_1|} = 2\sqrt{2}$，$\triangle DF_1F_2$ 的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

(1) 求该椭圆的标准方程； (2) 设圆心在 $y$ 轴上的圆与椭圆在 $x$ 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径.

设 $a_1 = 1$，$a_{n+1} = \sqrt{a_n^2 - 2a_n + 2} + b$（$n \in \mathbf{N}^*$）.

(1) 若 $b = 1$，求 $a_2$，$a_3$ 及数列 $\{a_n\}$ 的通项公式； (2) 若 $b = -1$，问：是否存在实数 $c$，使得 $a_{2n} < c < a_{2n+1}$ 对所有 $n \in \mathbf{N}^*$ 成立？ 证明你的结论.