设 $a_1 = 1$，$a_{n+1} = \sqrt{a_n^2 - 2a_n + 2} + b$（$n \in \mathbf{N}^*$）.

(1) 若 $b = 1$，求 $a_2$，$a_3$ 及数列 $\{a_n\}$ 的通项公式； (2) 若 $b = -1$，问：是否存在实数 $c$，使得 $a_{2n} < c < a_{2n+1}$ 对所有 $n \in \mathbf{N}^*$ 成立？ 证明你的结论.