已知函数 $f(x) = x^3 + ax^2 + b$（$a$，$b \in \mathbf{R}$）.

(1) 试讨论 $f(x)$ 的单调性； (2) 若 $b = c - a$（实数 $c$ 是与 $a$ 无关的常数）. 当函数 $f(x)$ 有三个不同的零点时，$a$ 的取值范围恰好是 $(-\infty, -3) \cup \left(1, \frac{3}{2}\right) \cup \left(\frac{3}{2}, +\infty\right)$，求 $c$ 的值.

设 $a_1$，$a_2$，$a_3$，$a_4$ 是各项为正数且公差为 $d$（$d \neq 0$）的等差数列.

(1) 证明：$2^{a_1}$，$2^{a_2}$，$2^{a_3}$，$2^{a_4}$ 依次构成等比数列； (2) 是否存在 $a_1$，$d$，使得 $a_1$，$a_2^{2}$，$a_3^{3}$，$a_4^{4}$ 依次构成等比数列？并说明理由； (3) 是否存在 $a_1$，$d$ 及正整数 $n$，$k$，使得 $a_1^{n}$，$a_2^{n+k}$，$a_3^{n+2k}$，$a_4^{n+3k}$ 依次构成等比数列？并说明理由.