设 $n$ 为正整数，$r$ 为正有理数.

(1) 求函数 $f(x) = (1 + x)^{r + 1} - (r + 1)x - 1$（$x > -1$）的最小值； (2) 证明： $\frac{n^{r+1} - (n-1)^{r+1}}{r+1} < n^{r} < \frac{(n+1)^{r+1} - n^{r+1}}{r+1}$； (3) 设 $x \in \mathbf{R}$，记 $[x]$ 为不小于 $x$ 的最小整数，例如 $[2] = 2$，$[\pi] = 4$，$\left[\frac{3}{-2}\right] = -1$. 令 $S = \sqrt[3]{81} + \sqrt[3]{82} + \sqrt[3]{83} + \cdots + \sqrt[3]{125}$，求 $[S]$ 的值.（参考数据： $80^{\frac{4}{3}} \approx 344.7$，$81^{\frac{4}{3}} \approx 350.5$，$124^{\frac{4}{3}} \approx 618.3$，$126^{\frac{4}{3}} \approx 631.7$）