已知椭圆 $\Gamma$ 的方程为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$），点 $P$ 的坐标为 $(-a, b)$.

(1) 若直角坐标平面上的点 $M$，$A(0, -b)$，$B(a, 0)$ 满足 $\overrightarrow{PM} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB})$，求点 $M$ 的坐标； (2) 设直线 $l_1: y = k_1x + p$ 交椭圆 $\Gamma$ 于 $C$，$D$ 两点，交直线 $l_2: y = k_2x$ 于点 $E$. 若 $k_1 \cdot k_2 = -\frac{b^2}{a^2}$，证明： $E$ 为 $CD$ 的中点； (3) 对于椭圆 $\Gamma$ 上的点 $Q(a\cos \theta, b\sin \theta)$ （$0 < \theta < \pi$） ，如果椭圆 $\Gamma$ 上存在不同的两点 $P_1$，$P_2$ 使 $\overrightarrow{PP_1} + \overrightarrow{PP_2} = \overrightarrow{PQ}$，写出求作点 $P_1$，$P_2$ 的步骤，并求出使 $P_1$，$P_2$ 存在的 $\theta$ 满足的条件.