如图，已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ （$a > b > 0$） 过点 $\left(1, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，左、右焦点分别为 $F_1$，$F_2$. 点 $P$ 为直线 $l: x + y = 2$ 上且不在 $x$ 轴上的任意一点，直线 $PF_1$ 和 $PF_2$ 与椭圆的交点分别为 $A$，$B$ 和 $C$，$D$，$O$ 为坐标原点.

(1) 求椭圆的标准方程； (2) 设直线 $PF_1$，$PF_2$ 的斜率分别为 $k_1$，$k_2$.

(i) 证明：$\frac{1}{k_1} - \frac{3}{k_2} = 2$； (ii) 问直线 $l$ 上是否存在点 $P$，使得直线 $OA$，$OB$，$OC$，$OD$ 的斜率 $k_{OA}$，$k_{OB}$，$k_{OC}$，$k_{OD}$ 满足 $k_{OA} + k_{OB} + k_{OC} + k_{OD} = 0$？ 若存在，求出所有满足条件的点 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由.