对于给定的正整数 $k$，若数列 $\{a_n\}$ 满足： $a_{n-k}+a_{n-k+1}+\allowbreak\cdots+\allowbreak a_{n-1}$ $+a_{n+1}+\allowbreak\cdots+\allowbreak a_{n+k-1}+a_{n+k}$ $=2ka_n$， 对任意正整数 $n$（$n>k$）总成立，则称数列 $\{a_n\}$ 是“$P(k)$数列”.

(1) 证明：等差数列 $\{a_n\}$ 是“$P(3)$数列”； (2) 若数列 $\{a_n\}$ 既是“$P(2)$数列”，又是“$P(3)$数列”，证明：$\{a_n\}$ 是等差数列.