给定常数 $c>0$，定义函数 $f(x)=2|x+c+4|-|x+c|$，数列 $a_1$，$a_2$，$a_3$，$\ldots$ 满足 $a_{n+1}=f(a_n)$，$n\in \mathbf{N}^*$.

(1) 若 $a_1=-c-2$，求 $a_2$ 及 $a_3$； (2) 求证：对任意 $n\in \mathbf{N}^*$，$a_{n+1}-a_n\geqslant c$； (3) 是否存在 $a_1$，使得 $a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_n$，$\cdots$ 成等差数列？ 若存在，求出所有这样的 $a_1$，若不存在，说明理由.