已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左焦点为 $F(-1,0)$，离心率为 $\dfrac{1}{2}$.

(1) 求 $C$ 的方程； (2) 设 $O$ 为坐标原点，过 $F$ 且斜率大于 $0$ 的动直线 $l$ 与 $C$ 交于 $P$，$Q$ 两点，其中 $Q$ 在第三象限，直线 $PO$ 与 $C$ 的另一个交点为 $R$.

(i) 若 $\triangle PQR$ 的面积是 $\triangle PFO$ 的面积的 $3$ 倍，求 $l$ 的方程； (ii) 求 $\tan \angle PQR$ 的最小值．

已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$，且当 $x<0$ 时，$f(x)=2^x$. 对任意 $x_0\in\mathbf{R}$，定义集合 $D(x_0)=\{d\in\mathbf{R} \mid f(x_0+d)>f(x_0)\}$.

(1) 若当 $x\ge 0$ 时，$f(x)=1-x$，求 $D(-1)$； (2) 若 $f(x)$ 是奇函数，$f(x_1)\le f(x_2)$，且 $x_1x_2\ne 0$，证明：$D(x_2)\subseteq D(x_1)$； (3) 设 $f(x)$ 满足：① 若 $f(x_1)\le f(x_2)$，则 $D(x_2)\subseteq D(x_1)$；② 当 $0<x<1$ 时，$f(x)<f(0)$.

(i) 证明：$f(0)\ge 1$； (ii) 证明：$f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 单调递增．