已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ （$a > b > 0$）的两个焦点分别为 $F_1(-c,0)$ 和 $F_2(c,0)$（$c > 0$），过点 $E\left(\frac{a^2}{c}, 0\right)$ 的直线与椭圆相交于 $A$，$B$ 两点，且 $F_1A \parallel F_2B$，$|F_1A| = 2|F_2B|$.

(1) 求椭圆的离心率； (2) 求直线 $AB$ 的斜率； (3) 设点 $C$ 与点 $A$ 关于坐标原点对称，直线 $F_{2}B$ 上有一点 $H(m, n)$（$m \neq 0$）在 $\triangle AF_{1}C$ 的外接圆上，求 $\frac{n}{m}$ 的值.