已知等差数列 $\{a_n\}$ 与等比数列 $\{b_n\}$ 满足：$a_1=2$，$b_1=1$，$a_2=b_1+b_2$，$a_4=b_3-b_1$.

(1) 求数列 $\{a_n\}$，$\{b_n\}$ 的通项公式； (2) 记 $E_n=\left\{ x\in \mathbf{R}\mid x\le n,\ \exists k\in \mathbf{N}^*,\ x=a_k\text{\ 或\ }x=b_k \right\}$，记 $c_n$ 为 $E_n$ 中的元素个数.

(i) 求 $c_{3^n}$； (ii) 求 $\sum_{m=1}^{3^n-1}(-1)^m\cdot a_m\cdot c_m$.

已知 $f(x)=\mathrm{e}^x-\frac{2}{3}\sin x$.

(1) 求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,f(0))$ 处的切线方程； (2) 当 $x\in \left[ -\frac{1}{3},+\infty \right)$ 时，证明 $f(x)\ge 1+\frac{x}{3}$； (3) 求实数 $a$ 的最大可能值，使得 $f\left( \frac{1}{1} \right)\cdot f\left( \frac{1}{2} \right)\cdot f\left( \frac{1}{3} \right)\cdots f\left( \frac{1}{n} \right)\ge (n+1)^a$ 对任意的 $n\in \mathbf{N}^*$ 都成立.