已知函数 $f(x) = (1 + x)\mathrm{e}^{-2x}$，$g(x) = ax + \frac{x^3}{2} + 1 + 2x\cos x$，当 $x \in [0,1]$ 时，

(1) 求证：$1 - x \leqslant f(x) \leqslant \frac{1}{1 + x}$； (2) 若 $f(x) \geqslant g(x)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.